Поняття загального рівняння поверхні другого порядку.

План

Поняття загального рівняння поверхні другого порядку.

Перетин поверхні з прямою. Частинні випадки.

Центр поверхні.

Рівняння дотичної площини та нормалі.

Поняття загального рівняння поверхні другого порядку.

Розглянемо поверхню другого порядку , задану рівнянням

, (1)

де – деякі дійсні числові коефіцієнти, причому коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю.

Доданки називають групою старших членів, або квадратичною формою, вираз – лінійною частиною, число – вільним членом рівняння.

Рівняння (1) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку, оскільки з нього можна отримати будь-яке конкретне рівняння поверхні другого порядку. З поверхнями, рівняння яких є частинними випадками рівняння (1), ми уже зустрічалися в попередніх лекціях. Такими є сфера із центром у точці та радіусом , еліпсоїд , одно- та двопорожнинні гіперболоїди , еліптичний та гіперболічний параболоїди та інші. Природно виникає питання, чи всі можливі поверхні другого порядку ми розглянули? Приклад поверхні, яка задається рівнянням , показує, що ні. Справді, записавши дане рівняння у вигляді , бачимо, що його не задовольняють координати жодної точки. Можна навести і інші приклади рівнянь поверхонь, зокрема таких, які ми ще не розглядали.

Оскільки рівняння (1) містить 10 коефіцієнтів, які визначаються з точністю до сталого множника, то поверхня другого порядку можна задавати не більше, ніж 9-ма точками. У деяких випадках їх кількість може бути меншою. Наприклад, сферу можна задати 4-ма точками, які їй належать. Меншою кількістю точок визначаються параболоїди, циліндри, конуси.

Введемо в розгляд символи та , означивши їх рівностями

,

,

,

а також

,

,

.

Вираз є половиною похідної від функції по змінній , якщо змінні та при цьому вважати сталими. Аналогічно, та – це половини похідних від функції по змінних та відповідно при умові, що дві інші змінні вважаються сталими. Вирази , є значеннями функцій та , обчисленими у точці .

Найближчими нашими задачами буде дослідження властивостей поверхонь, заданих загальним рівнянням, вивчення особливостей їх розташування відносно системи координат, а також дослідження питання, скільки та які різні види поверхонь може визначати рівняння (1).

 

 

Центр поверхні.

Хордою поверхні другого порядку назвемо відрізок, який сполучає дві її довільні точки.

Якщо існує точка, в якій усі хорди, що проходять через неї, діляться пополам, то цю точку називають центром поверхні.

Центр поверхні є її центром симетрії, оскільки разом із будь-якою точкою поверхні їй належить також точка, симетрична даній відносно центра.

Розглянемо питання відшукання центра поверхні, заданої рівнянням (1). Як ми знаємо, умовою того, щоб точка була серединою хорд, які проходить через неї, згідно з пунктом 2), є виконання рівності

для довільного напрямку, який задається вектором . Тому для відшукання центра поверхні дістаємо систему рівнянь

. (4)

Існування та кількість розв’язків системи (4) залежить від її визначника

.

Якщо , то система (4) має єдиний розв’язок. У цьому випадку поверхня має єдиний центр і її називають центральною. Прикладами таких поверхонь є еліпсоїд, одно- та двопорожнинний гіперболоїд, конус.

Якщо , то система (4) має безліч, або не має жодного розв’язку. Поверхню у цьому випадку називають нецентральною. Прикладами поверхонь, які не мають жодного центра, є еліптичний та гіперболічний параболоїди, параболічний циліндр. Якщо система (4) має безліч розв’язків, то в залежності від рангу її матриці відповідні розв’язкам точки утворюють пряму або площину. Еліптичний та гіперболічний циліндри мають пряму центрів, а поверхня, яка вироджується у дві паралельні площини – площину центрів. Ця площина проходить паралельно до даних двох площин та знаходиться від них на однаковій відстані.

Приклад 1. Знайти центр поверхні, заданої рівнянням

.

Розв’язання. Складемо та розв’яжемо систему рівнянь . Маємо

,

звідки . Отже, задана поверхня має єдиний центр, який знаходиться у точці .

 

План

Геометричне місце хорд, які в заданій точці діляться навпіл.

План

План

Поняття загального рівняння поверхні другого порядку.