Перетин поверхні з прямою. Частинні випадки.

Перетнемо поверхню другого порядку прямою , яка проходить через деяку точку паралельно до вектора . Запишемо параметричні рівняння прямої

(2)

та знайдемо точки перетину поверхні і прямої . Дістаємо систему рівнянь (1), (2), розв’язуючи яку відносно змінної , отримуємо квадратне рівняння

, (3)

де

,

,

Дослідимо особливості взаємного розташування поверхні та прямої у випадках, коли деякі з коефіцієнтів рівняння (3) перетворюються в нуль.

1). Нехай . Одному із коренів рівняння , який рівний нулю, відповідає точка . Тому у цьому випадку одна із точок перетину поверхні та прямої співпадає з точкою (рис. 1).

2). Нехай та рівняння має два дійсні корені . Цим кореням відповідають дві точки, які належать заданій поверхні та прямій – це точки . У цьому випадку точка є серединою хорди (рис. 2). Якщо дане рівняння має два уявні корені, то пряма буде перетинати поверхню у двох уявних точках, а точка буде серединою уявної хорди.

3). Нехай . Рівняння має єдиний корінь , який визначає першу із точок перетину. Щоб зрозуміти особливість розташування другої точки перетину доцільно дослідити, як змінюється другий корінь рівняння (3) при . У лекції 18, де досліджувались аналогічні питання взаємного розташування лінії другого порядку та прямої, було показано, що при абсолютна величина другого кореня прямує до . Згідно із рівностями (2) при друга із точок перетину нескінченно віддаляється від точки . Таку точку ми, аналогічно до попереднього, будемо позначати символом та говорити, що пряма перетинає поверхню у нескінченно віддаленій точці. Напрям прямої при цьому будемо називати асимптотичним. Асимптотичним буде, наприклад, напрям прямої, яка перетинає еліптичний параболоїд та проведена паралельно до його осі симетрії (рис. ), або прямої, що проведена паралельно до твірної конуса (рис. ).

4). Випадок є поєднанням розглянутих вище випадків 1), 2). Рівняння (3) матиме вид та корені . При цьому пряма буде дотикатись до поверхні у точці (рис. 4).

5). При точка належить поверхні , а пряма матиме відносно асимптотичний напрям.

6). Якщо , то рівняння (3) не має розв’язків. У цьому випадку пряма не має з поверхнею спільних точок та має відносно асимптотичний напрям. Прикладом такого випадку може бути пряма, що паралельна до твірної циліндра або конуса, але не має з цими поверхнями спільних точок.

7). Якщо , то розв’язком рівняння (3) буде довільне дійсне число . Тоді кожна точка прямої належить поверхні . Ми зустрічалися із таким випадком, коли говорили про прямолінійні твірні поверхонь другого порядку, всі точки яких належать поверхні.

Центр поверхні.

Хордою поверхні другого порядку назвемо відрізок, який сполучає дві її довільні точки.

Якщо існує точка, в якій усі хорди, що проходять через неї, діляться пополам, то цю точку називають центром поверхні.

Центр поверхні є її центром симетрії, оскільки разом із будь-якою точкою поверхні їй належить також точка, симетрична даній відносно центра.

Розглянемо питання відшукання центра поверхні, заданої рівнянням (1). Як ми знаємо, умовою того, щоб точка була серединою хорд, які проходить через неї, згідно з пунктом 2), є виконання рівності

для довільного напрямку, який задається вектором . Тому для відшукання центра поверхні дістаємо систему рівнянь

. (4)

Існування та кількість розв’язків системи (4) залежить від її визначника

.

Якщо , то система (4) має єдиний розв’язок. У цьому випадку поверхня має єдиний центр і її називають центральною. Прикладами таких поверхонь є еліпсоїд, одно- та двопорожнинний гіперболоїд, конус.

Якщо , то система (4) має безліч, або не має жодного розв’язку. Поверхню у цьому випадку називають нецентральною. Прикладами поверхонь, які не мають жодного центра, є еліптичний та гіперболічний параболоїди, параболічний циліндр. Якщо система (4) має безліч розв’язків, то в залежності від рангу її матриці відповідні розв’язкам точки утворюють пряму або площину. Еліптичний та гіперболічний циліндри мають пряму центрів, а поверхня, яка вироджується у дві паралельні площини – площину центрів. Ця площина проходить паралельно до даних двох площин та знаходиться від них на однаковій відстані.

Приклад 1. Знайти центр поверхні, заданої рівнянням

.

Розв’язання. Складемо та розв’яжемо систему рівнянь . Маємо

,

звідки . Отже, задана поверхня має єдиний центр, який знаходиться у точці .