Явища переносу в газах. Рівняння переносу.

 

Хаотичний рух молекул газу веде до безперервного перемішування газу. З цим пов’язаний ряд важливих явищ, що відбуваються в газах.

Якщо в різних частинах об’єму газу густина була спочатку неоднаковою, то з часом вона вирівнюється. Також, якщо два різних гази дотикаються, то вони рівномірно перемішуються між собою. Це явище називається дифузією.

Дифузія – розповсюдження речовини в деякому середовищі в напрямі зменшення її концентрації, зумовлене тепловим рухом атомів, молекул, іонів і інших більш великих частинок.

В об’ємі газу, частини якого мають різну температуру, відбувається поступове вирівнювання температури внаслідок переносу молекулами своєї енергії. Це явище називається теплопровідністю.

Теплопровідність – один з видів теплообміну, при якому перенесення енергії в формі теплоти в нерівномірно нагрітому середовищі має атомно-молекулярний характер (не пов’язаний з макроскопічним рухом речовини).

В’язкість (внутрішнє тертя) рідин і газів - властивість рідин і газів чинити опір переміщенню однієї їх частини відносно іншої.

Всі вище названі явища зумовлені однією причиною – переносом молекулами газу в процесі хаотичного руху своїх характеристик:

маси – дифузія

енергія - теплопровідність

імпульсу руху – внутрішнє тертя (в’язкість)

Тому механізм всіх цих явищ однаковий і всі вони об’єднані спільною назвою явищ переносу.

Виходячи з уявлень МКТ виведемо загальне для явищ переносу рівняння переносу.

З цією метою визначимо перш за все кількість молекул, що проходять за проміжок часу dt крізь деяку уявну площадку dS, розміщену в газі (мал.1).

dS

Зорієнтуємо вісь Ох перпендикулярно площадці dS.

Мал.1

Внаслідок хаотичного руху молекул припустимо, що вздовж кожної з осей рухається 1/3 частина всіх молекул:тому 1/6 частина – зліва направо і 1/6 частина – справа наліво. Тоді за одиницю часу крізь площадку dS пройде зліва направо 1/6 частина всіх молекул, що знаходяться в об’ємі прямокутного паралелепіпеду з основою dS і висотою, що дорівнює середній швидкості руху молекул, тобто

де - кількість молекул в одиниці об’єму газу (концентрація молекул).

Отже, кількість молекул N, що проходять крізь площадку за час dt в одному напрямі, визначається формулою

Ці молекули переносять крізь площадку і значення своїх фізичних характеристик (масу, енергію, імпульс).

Розглядаючи загальний механізм переносу, поки що не будемо конкретизувати, яку саме фізичну характеристику переносять молекули і позначимо її .Тоді кількість фізичної характеристики, перенесеної молекулами в одному напрямі крізь площадку за час dt, визначиться формулою

(1)

Очевидно, що така ж кількість буде перенесена в зворотному напрямі.

Припустимо тепер, що газ неоднорідний за своїми властивостями, тобто концентрація n його різна в різних місцях об’єму газу і самі молекули мають неоднакові значення фізичної величини . Тоді кількість величини , що міститься в одиниці об’єму газу також буде різною в різних місцях об’єму газу. Нехай кількість зменшується в додатному напрямі осі Ох, дорівнюючи ()₁ зліва від площадки dS. В цьому випадку має місце переважне перенесення фізичної величини крізь площадку dS зліва направо (мал..2)

мал.2

Згідно формулі (1) воно дорівнює:

(2)

Залишається вияснити, виходячи з фізичних уявлень, на якій відстані від площадки dS слід взяти значення . Обмін значеннями і зміна концентрації відбувається тільки при взаємних зіткненнях молекул, тобто на відстані , що дорівнює середній довжині вільного пробігу молекули. Тому, можна припустити, що значення величини зберігається незмінним на відстані вліво і вправо від dS. На цих відстанях і будемо брати значення . Помноживши і поділивши на 2 праву частину формули (2), отримаємо:

(3)

Як видно з мал. відношення є градієнтом величини , який ми позначимо символом . Градієнтом фізичної величини називається її зміна, що припадає на одиницю відстані в напрямі найбільшого збільшення. Отже, градієнт є вектор, направлений в бік найбільшого зростання фізичної величини. Тоді формула (3) прийме вид:

(4)

Знак „мінус” зумовлений тим, що перенесення фізичної величини відбувається в напрямі протилежному градієнту (градієнт направлений справа наліво, а перенесення - зліва направо).

Формула (4) називається рівнянням переносу. На основі цього рівняння розглянемо конкретні явища переносу: дифузію, теплопровідність, внутрішнє тертя.

 

Дифузія.

 

Нехай в деякому об’ємі газу має місце неоднорідність густини. Густина зменшується в напрямі осі Ох (мал.3)

 

, де

Це може бути, наприклад, у випадку, коли в лівій частині об’єму знаходиться джерело газу О (рідина, що випаровується).

Позначимо через і значення густини на відстані зліва і справа від dS.

Тоді > , бо (за значенням), де m – маса молекули, однакова для всіх молекул газу, але , тобто концентрація молекул зменшується в напрямі осі Ох разом з густиною. Застосуємо рівняння переносу (4). Відмітимо, що в даному випадку фізичною характеристикою, що переноситься, є маса молекул, тобто

тому (5),

де (5)

де Dm – маса газу, що переноситься шляхом дифузії за час dt крізь площадку dS, перпендикулярну напряму зменшення густини. Підставивши вираз (5) в рівняння переносу (4), одержимо:

(6)

Позначивши D= (7)

Отримаємо (8)

Звідки слідує, що маса газу dM, що переноситься завдяки дифузії крізь площадку dS, перпендикулярну до напряму осі Ох в якому зменшується густина, пропорційна розміру цієї площадки, проміжку часу dT переносу і градієнту густини .

Формула (8) називається рівнянням дифузії чи законом Фіка, бо німецький фізик Фік отримав таке ж рівняння з дослідів з рідинами.

Коефіцієнт пропорційності D називається коефіцієнтом дифузії.

Встановимо фізичний зміст коефіцієнта дифузії D, вважаючи в формулі (8) dS=1м²

Dt=1c, =-1кг/м⁴ , то D= dM, тобто коефіцієнт дифузії чисельно дорівнює масі газу, що переноситься крізь площадку в 1м² за1с. при градієнті густини в -1кг/м⁴

З формули (7) і (8) слідує, що коефіцієнт дифузії вимірюється в .

 

Теплопровідність.

 

Нехай в деякому об’ємі газу Т температура зменшується у напрямі осі Ох (мал.4)

Це може мати місце, наприклад, у випадку, коли в лівій частині в т.О об’єму знаходиться нагрівач. Позначимо через Т_{1 і} Т₂ - значення температури на відстані від площадки dS, тоді Т_{1 >} Т₂ . Кінетична енергія молекули газу визначається за формулою

де і – число ступенів вільності молекули. З цієї формули слідує, що Е_{1 >} Е_2, тобто енергія молекул, що знаходиться зліва від dS більша, за енергію молекул, що знаходиться справа від dS. Тому в напрямі зменшення температури буде відбуватися переважне перенесення енергії, а отже, і кількість теплоти dQ, бо внутрішня енергія газу складається з кінетичної енергії його молекул.

Застосовуючи рівняння переносу (4), відмітимо, що в даному випадку фізичною характеристикою, що переноситься, є енергія молекули, тобто .

Тоді, так як концентрацію n молекул можна вважати однаковою у всьому об’ємі газу, можемо записати:

(9)

де dT = Т_{1 -} Т₂

(9)

(10)

де dQ – кількість теплоти (внутрішня енергія), що переноситься за час dT крізь площадку dS, перпендикулярну напряму зменшення температури.

Підставляючи вираз (9) і (10) в рівняння переносу (4) отримаємо

Помноживши і поділивши праву частину цієї рівності на масу молекули m і врахувавши, що можемо записати

, , ,

де - густина газу

- молярна маса

- молярна теплоємність газу при V=const

Тоді останню рівність можна записати в такому вигляді:

- питома теплоємність газу при V=const

Тоді отримаємо:

(11)

Позначимо

(12)

де - коефіцієнт теплопровідності

(13)

З формули (13) слідує, що кількість теплоти dQ, що переноситься крізь площадку dS, перпендикулярну до напряму осі Ох, в якому зменшується температура, пропорційна розмірам цієї площадки, проміжку часу dt переносу і градієнту температури .

Формула (13) називається рівнянням теплопровідності чи законом Фур’є (бо вперше це рівняння вивів французький математик Фур’є).

Вияснимо фізичний зміст коефіцієнта теплопровідності , скориставшись формулою (13), в якій

,

Тоді отримаємо: = , тобто коефіцієнт теплопровідності чисельно дорівнює кількості теплоти, що переноситься крізь площадку в 1м² за 1с. при градієнті температури в .

З формул (12) і (13) слідує, що коефіцієнт теплопровідності вимірюється в

 

Внутрішнє тертя(в’язкість).

 

Нехай в ламінарному (такому, що встановився) потоці газу швидкість течії зменшується в напрямку осі Ох.

, де k- імпульс руху

Уявімо площадку dS, вздовж якої дотикаються 2 сусідні шари газу і позначимо через і значення швидкостей на відстанях від цієї площадки ( > ). Очевидно, що на хаотичний рух молекул накладеться швидкість потоку , внаслідок чого швидкість молекул верхнього шару приведе то того, що вони будуть мати більший імпульс руху, ніж молекули нижнього шару, тобто > , де m – маса молекули. В процесі хаотичного руху молекули верхнього шару будуть переносити свій імпульс руху в нижній шар, збільшуючи його швидкість.

В результаті цього між шарами виникає внутрішнє тертя, сила якого буде діяти вздовж площадки dS паралельно швидкості потоку.

Застосувавши рівняння переносу (4), відмітивши, що в цьому випадку фізичною характеристикою, що переноситься, є імпульс руху молекул:

Тоді, так як концентрацію молекул n можна вважати однаковою у всьому об’ємі газу, можемо записати, що (14)

де -

(15)

де - зміна імпульсу руху одного шару відносно іншого, що відбувається за час dt на площадці dS, бо зміна імпульсу руху за ІІ законом Ньютона дорівнює імпульсу діючої сили, тобто , де F – сила взаємодії між шарами газу, що діє в площині їх дотику, тобто сила внутрішнього тертя. Тому формулу (15) можна записати у вигляді:

(16)

Підставивши вирази (14) і (16) в рівняння (4), отримаємо:

(17)

(18)

Тоді (19)

З формули (19) слідує, що: сила внутрішнього тертя, що виникає в площині дотику двох шарів газу, які ковзають один відносно одного, пропорційна площі їх дотику dS і градієнту швидкості .

Формула (19) називається рівнянням внутрішнього тертя, чи законом Ньютона, бо Ньютон отримав таке ж рівняння з дослідів з рідинами.

Коефіцієнт пропорційності називається коефіцієнтом внутрішнього тертя або в’язкості.

Вияснимо його фізичний зміст, скориставшись формулою (9), в якій будемо вважати

dS =1m², а =-1с^-1, тоді отримаємо

=F, тобто коефіцієнт в’язкості чисельно дорівнює силі внутрішнього тертя, що діє на 1m² площадки дотикання шарів газу, що рухаються паралельно при градієнті швидкості 1с^-1.

З формули (18) і (19) слідує, що коефіцієнт внутрішнього тертя вимірюється в . На завершення підкреслимо, що зіставляючи формули

Д= , і отримаємо співвідношення між коефіцієнтом переносу

, які також знаходяться у відповідності з дослідними даними. Це є додатковим підтвердженням вірності розглянутої нами МКТ будови речовини.