Закон збереження момента імпульса.

 

У випадку, якщо сумарний момент зовнішніх сил, що діють на тіло чи систему тіл, дорівнює нулю(), тоді

або (1)

Отже, якщо сума моментів зовнішніх сил дорівнює нулю, то момент імпульсу системи не змінюється з часом. В цьому полягає закон збереження моменту імпульсу.

Знайдемо вираз для кінетичної енергії тіла, що обертається.

Кінетична енергія тіла, що обертається, дорівнює сумі кінетичних енергій його частинок

(2)

Виразимо кінетичну енергію тіла, що обертається, через момент імпульсу.

(3)

На практиці часто зустрічаються випадки, коли тіло одночасно має і кінетичну енергію поступального руху і кінетичну енергію обертального руху, наприклад, куля скочується з похилої площини.

 

Розділ 5. Рівняння руху.

 

Узагальнені координати.

 

Для визначення положення системи в матеріальних точок, в просторі треба задати радіус-векторів, тобто з координат.

Взагалі число незалежних величин, завдання яких необхідне для однозначного визначення положення системи, називається числом її ступенів вільності, в даному випадку це число дорівнює 3 . Ці величини не обов’язково повинні бути декартовими координат точок, і в залежності від умов задачі може виявитись більш зручним вибір яких-небудь інших координат. Будь які величин , що повністю характеризують положення системи(з ступенями свободи), називають її узагальненими координатами, а похідні - її узагальненими швидкостями.

Завдання значень узагальнених координат, це не визначає „механічного стану” системи в даний момент часу, бо не дозволяє передбачити положення системи в наступні моменти часу. При заданих значеннях координат система може мати довільні швидкості, а в залежності від значення останніх буде різним і положення системи в наступний момент часу(тобто через нескінченно малий часовий інтервал ).

Одночасне завдання всіх координат і швидкостей повністю визначається, як показує дослід, стан системи і дозволяє в принципі передбачати подальший її рух. З математичної точки зору це означає, що заданням всіх координат і швидкостей в деякий момент часу одночасно визначається також і значення прискорень в цей момент(Надалі ми будемо умовно розуміти під сукупність всіх координат , а під аналогічно сукупність всіх швидкостей).

Співвідношення, що пов’язують прискорення з координатами і швидкостями, називається рівнянням руху. По відношення до функцій це – диференціальне рівняння другого порядку, інтегрування яких дозволяє в принципі визначати ці функції, тобто траєкторії руху механічної системи.

 

Принцип найменшої дії.

 

Найбільш загальне формування закону руху механічних систем дається так званим принципом найменшої дії (або принципом Гамільтона). Згідно з цим принципом кожна механічна система характеризується певною функцією

, або в скороченому записі , причому рух системи задовольняє такій умові:

Нехай в моменти часу і система певні положення, що характеризуються двома наборами значень координат і . Тоді між цими положеннями система рухається таким чином, щоб інтеграл

(1)

мав найменше можливе значення.

Функція називається функцією Лагранжа даної системи, а інтеграл (1) – дією.

Для спрощення запису формул спочатку припустимо, що система має всього одну ступінь вільності, так що повинна бути визначена всього одна функція .

Нехай і є функція, для якої має мінімум. Це означає, що зростає при заміні на функцію виду

, (2)

де - функція, мала на всьому інтервалі часу від до (її називають варіацією функції ).

Так як при і всі порівнювані функції (2) повинні набувати одні й ті ж значення і , то повинно бути:

(3)

Зміна при заміні на дається різницею:

Розклад цієї різниці по степеням і (в підінтегральному виразі) починається з членів першого порядку. Необхідною умовою мінімальності є перетворення в нуль сукупності цих членів; її називають першою варіацією інтегралу. Отже, принцип найменшої дії можна записати у вигляді:

(4)

або виконавши варіювання

Відмітивши, що , про інтегруємо другий член по частинам і отримаємо:

(5)

Але враховуючи умови (3) перший член в цьому виразі зникає. Залишається інтеграл, який повинен дорівнювати нулю при довільних значеннях . Це можливо тільки в тому випадку, якщо підінтегральний вираз тотожно перетворюється в нуль. Отже, ми отримаємо рівняння

При наявності кількох ступенів вільності в принципі найменшої дії повинні залежно варіюватися різних функцій . Очевидно, що ми отримуємо тоді рівнянь виду

(і=1,2,..., ) (6)

Це шукані диференціальні рівняння; вони називаються в механіці рівняннями Лагранжа.

Якщо функція Лагранжа, даної механічної системи відома, то рівняння (6) встановлюють зв’язок між прискореннями, швидкостями і координатами, тобто вони є рівняннями руху системи.

Зазначимо, що функція Лагранжа визначена лише з точністю до додавання до неї повної похідної від довільної функції координат і часу.