Наслідки з основного рівняння кінетичної теорії ідеального газу.

 

а) Закон Бойля – Маріотта

Скористаємося рівнянням Клаузіуса у вигляді:

Врахувавши, що , тому отримаємо =>

Закон Бойля – Маріотта описує ізотермічний процес, тобто процес, що протікає при постійний температурі , тоді .

По друге, закон Бойля – Маріотта має місце для газу, кількість молекул якого незмінна, тобто

Тоді - закон Бойля – Маріотта.

Добуток тиску газу на об’єм при даній масі газу і при постійній температурі є величина постійна.

Виникає питання:

в чому полягає фізичний зміст закону Бойля – Маріотта?

Для відповіді на поставлене питання перевіримо розмірність цього закону в СІ.

Отже, з точки зору фізики закон Бойля – Маріотта показує, що при ізотермічному процесі внутрішня енергія газу не змінюється.

б) Середня кінетична енергія поступального руху молекули ідеального газу.

Скористаємося основним рівнянням Клаузіуса в формі:

, де - молярний об’єм

Для молярного об’єму кількість молекул дорівнює числу Авогадро

(1)

Запишемо рівняння Клапейрона – Менделєєва для 1 моля газу:

(2)

Співставивши (1) і (2), отримаємо:

=>

- постійна Больцмана

Отже, (3)

З (3) слідує фізичний зміст постійної Больцмана:

вона показує, яку роботу здійснює 1 молекула газу, що рухається з деякою середньою швидкістю, при підвищені температури газу на 1 ⁰К.

в) Число Лошмідта

Підрахуємо кількість молекул газу в одиницю об’єму. Для цього скористаємося основним рівнянням МКТ, що має вигляд:

Підставляючи сюди значення з формули (3), отримаємо:

(4)

Тоді (5)

При однакових температурі і тиску всі газу містять в одиниці об’єму однакову кількість молекул. Кількість молекул, що міститься в 1 м³ газу за нормальних умов називається числом Лошмідта. За формулою (5) воно дорівнює

г) Середня квадратична швидкість руху молекул ідеального газу:

Виводячи основне рівняння МКТ ми позначимо середню квадратичну швидкість через . Тоді середня кінетична енергія

. З іншого боку

Тоді =>

=>

(6)

тобто для даного газу середня квадратична швидкість молекул пропорційна кореню квадратному з абсолютної температури і залежить тільки від неї.

 

 

§4. Розподіл числа молекул за швидкостями(розподіл Максвела).

 

Серед квадратична швидкість – менше статистична характеристика руху молекул, отримана шляхом усереднення різних значень швидкостей значної кількості молекул.

В дійсності ж молекули рухаються з різними швидкостями навіть при деякий заданій температурі .

Розіб’ємо весь діапазон цих швидкостей на малі інтервали . Тоді на кожний інтервал швидкості буде припадати деяке число молекул , що мають швидкість, обмежену цим інтервалом. Відношення показує, скільки молекул припадає на кожний одиничний інтервал швидкості. Іншими словами, який розподіл числа молекул за швидкостями.

залежить від швидкості і називається функцією розподілу числа молекул за швидкостями.

Цю функцію розподілу вперше визначив англ. фізик Джеймс Клерк Максвелл теоретичним шляхом, застосувавши теорію ймовірностей.

Максвелівська функція розподілу представлена формулою, яка називається законом Максвела і має такий вид:

(1)

де - загальна кількість молекул газу

- молярна маса

- універсальна газова постійна

При і при функція розподілу прагне до нуля.

Знайдемо найбільш ймовірну швидкість, при якій функція розподілу має максимум.

Для цього першу похідну функції розподілу по прирівняємо до нуля.

при не має фізичного змісту

(2)

Найбільш ймовірною називається швидкість, поблизу якої на одиничний інтервал припадає найбільша кількість молекул.

Вона розраховується за формулою (2).

Графічно закон Максвела представлено кривою, що починається в початку координат, досягає максимуму при і потім асимптотично наближається до осі абсцис(мал.1).

 

 

 

 

 

 

Графік точно показує, що молекул з малими і великими швидкостями мало і що більшість молекул має швидкості, близькі до найбільш ймовірної швидкості.

Із закону Максвелла можна отримати вираз для середньої арифметичної швидкості .

Вона дорівнює

Ці вирази показують, що дані швидкості розрізняються між собою тільки коефіцієнтами:

Виділимо на осі абсцис елементарний інтервал швидкостей і проведемо ординати його меж. Тоді площа дуже вузького прямокутника дорівнюватиме

,

тобто числу молекул, що мають швидкість в інтервалі . Отже, площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис дорівнює загальній кількості молекул газу .

При зміні температури газу змінюються швидкості руху всіх молекул, а отже і найбільш ймовірна швидкість. Тому максимум кривої буде зміщуватись вправо, при підвищені температури, або вліво при зниженні температури, однак площа, обмежена кривою, залишається незмінною, бо загальна кількість молекул газу не залежить від температури.

Розподіл Максвелла за швидкостями був підтверджений експериментально німецьким фізиком Штерном у 1920 р.