Найпростіші види прямолінійного руху матеріальної точки.

1. Прямолінійний рівномірний рух.

Рівномірний прямолінійний рух – це рух, при якому тіло за будь які рівні проміжки часу здійснюють однакові переміщення.

Тому залежність координати х точки від часу t буде мати такий вигляд:

=> =>

(2.1)

Довжина шляху s пройденого точкою за проміжок часу від 0 до t дорівнює:

(2.2)

На мал.2 показано графік часу

рівномірного руху.

З малюнка видно, що (2.3)

 

 

мал.2

 

Рівнозмінний прямолінійний рух.

 

Рівнозмінним рухом називають такий рух, при якому за будь які рівні проміжки часу швидкість точки змінюється на одну і ту ж величину.

- рух рівноприскорений

- рух рівносповільнений

Для швидкості:

=> => => (2.4)

Для координати:

=> =>

 

=>

(2.5)

Для шляху:

(2.6)

Пасажир відмітив, що передостанній вагон пройшов 10 сек., а останній 8 сек. На скільки запізнився пасажир.

 

 

 

Границі застосовності одержаних формул кінематики.

1. Застосовні тільки в інерціальних системах відліку(ІСВ).

2. Описують рух макроскопічних тіл, які можна вважати матеріальними точками.

3. Описують нерелятивістські рухи, рух набагато менший до руху світла, менше.

4. Формула рівномірного прямолінійного руху мають місце тільки для випадку коли відсутня дія сил, або дія сил скомпенсована.

5. Формули рівноприскореного руху мають місце тільки тоді, коли на матеріальну точку діє постійна сила.

 

Рух тіла кинутого під кутом до горизонту.

 

Рівняння руху

Визначити максимальну висоту підняття, дальність польоту, час, опором повітря нехтуємо.

Час підняття до максимальної точки і опускання між собою рівні

 

 

 

Кінематика криволінійного руху.

 

 

Рух по колу.

 

 

Кутом повороту називається кут утворений радіус-вектором, що сполучає початкове і кінцеве положення матеріальної точки і центр кола. Вимірюється .

Кут в 1 рад – це центральний кут, що вирізує на колі довжину дуги рівну радіусу.

Кутовою швидкістю називають похідна кута повороту по часу

При рівномірному русі по колу час протягом якого відбувається один повний оборот матеріальної точки називається періодом обертання Т.

Величина, що дорівнює кількості обертів за 1 с називається частотою .

=> - формула Ейлера.

Розглянемо частину кола, яку пройшла матеріальна точка за деякий проміжок часу. Вважаємо, що швидкість змінюється за напрямком і величиною. При русі по колу швидкість направлена по дотичній кола.

 

Якщо тіло рухається по прямолінійній траєкторії, то такий рух називається криволінійним.

 

, де - середнє дотичне(тангенціальне) прискорення, - середнє нормальне(доцентрове) прискорення

=> =>

 

Обертальний рух твердого тіла.

 

Під абсолютно твердим тілом розуміють таке уявне тіло, яке практично не деформується під дією прикладених до нього сил, тобто деформації на стільки малі, що ними можна знехтувати.

В АТТ неможливі переміщення окремих його частин одна відносно іншої.

Рух АТТ зводиться до його поступального руху і до обертання.

Поступальний рух твердого тіла описується тими ж законами механіки, що і рух матеріальної точки в зв’язку з цим ми більш детально зупинимося на кінематиці обертального руху.

Обертальним рухом називається такий рух, при якому, всі точки твердого тіла описують кола, площини яких паралельні, а центри лежать на одній прямій, що називається віссю обертання.

Кутовою швидкістю називається

(1)

(2)

Розглянемо випадок, коли тверде тіло рівномірно обертається навколо осі.

з кутовою швидкістю .

(3)

(4)

Знайдемо зв’язок між лінійною швидкістю і кутовою швидкістю

(5) - формула Ейлера

Так як кожна матеріальна точка твердого тіла описує коло, то вона має нормальне(доцентрове) прискорення:

(6) - застосовується тільки при постійній лінійній швидкості.

(7) - застосовується тільки при постійній кутовій швидкості.

Швидкість зміни кутової швидкості характеризується кутовим прискоренням, яке позначається

(8)

(9)

Зв’язок між лінійною і кутовою швидкістю можна отримати на основі рівності, що пов’язує довжину дуги , пройденої матеріальною точкою, центрального кута і радіуса кола.

По означенню

=> => (10)

 

 

Розділ 2. Основи динаміки.

 

Вступ в динаміку.

Динаміка – розділ механіки в якому вивчають закономірності і умови механічного руху макроскопічних тіл під дією прикладених до них сил.

В основі динаміки, лежать закони Ньютона, з яких отримують всі рівняння, необхідні для розв’язку практичних задач динаміки.

В динаміці розглядають 2 типи задач, розв’язок яких для матеріальної точки(чи тіла, що рухається поступально) знаходяться за допомогою законів Ньютона:

Задачі І типу полягають в тому, що знаючи рух тіла, визначити діючі на нього сили.

Задачі ІІ типу – за діючими на тіло силами визначити закон його руху. Для розв’язку цих задач необхідно знати так звані початкові умови руху, тобто положення і швидкість руху тіла на початку його руху під дією заданих сил.

 

Закони руху Ньютона.

 

Перший закон Ньютона.

 

Якщо на тіло не діють інші тіла, або якщо їх дія взаємно скомпенсовані, то тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху. Ця властивість тіл називається інерцією.

Головна думка І закону Ньютона полягає в тому, що лише зовнішні сили можуть змінити спокій чи швидкість руху тіла, саме ж тіло, якщо воно „вільне”, володіє інерцією: воно зберігає свій спокій чи прямолінійний рух з постійною швидкістю.

Наведемо формулювання І закону за Ньютоном:

будь-яке тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху доти і постільки доти дія з боку інших тіл не примушує його змінити цей стан.

За допомогою безпосереднього досліду ми не можемо ні підтвердити, ні заперечити І закону механіки, бо в земних умовах важко здійснити дослід, при якому на тіло не діяли б зовнішні сили.

Власне кажучи, цей закон справедливий лише для матеріальних точок, бо тіла можуть і не зберігати свого спокою, знаходячись, наприклад, в обертальному русі. Матеріальна ж точка обертатись не може. Для реальних тіл І закону Ньютона виконується тільки у випадку їх поступального руху.

В цьому формулюванні І закону не має вказівок на вибір системи відліку, але розуміння, що твердження відноситься до руху чи спокою в певній системі відліку. Без вказівки на систему відліку закон втрачає сенс.

Можна, проте, припустити, що існує така система відліку, в якій прискорення матеріальної точки цілком зумовлене тільки її взаємодією з іншими тілами.

Вільна матеріальна точка, на яку не діють інші тіла, рухається відносно такої системи відліку прямолінійно або, як кажуть, за інерцією.

Таку систему називають інерціальною.

Тому сформулюємо І закон Ньютона таким чином:

Існують системи відліку, відносно яких тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху, якщо на нього не діють інші тіла чи їх дія скомпенсована. Такі системи відліку називають інерціальними.

Іноді стверджують, що при рівномірному і прямолінійному русі тіло рухається за інерцією. Це не слід розуміти так, що тіло рухається внаслідок інерції.

Для того, щоб тіло зберегло стан прямолінійного і рівномірного руху, не потрібно ніяких причин. Рівномірний і прямолінійних рух тіла(рух за інерцією) і спокій – це природний стан будь-якого тіла, вільного від зовнішніх дій або якщо дія на нього інших тіл скомпенсована.

Отже, інерція – це властивість всіх тіл, що виявляється в інерціальних системах відліку. Полягає вона в тому, що тіла при відсутності зовнішніх дій, зберігають швидкість свого руху незміною(включаючи і частинний випадок спокою). Інерція властива будь-якому тілу, але для неї не вводиться ніякої кількісної міри, тобто інерція є властивістю, що не вимірюється.

Межі застосування І закону Ньютона: Застосовний завжди. Але в першому законі Ньютона закладено в неявному вигляді уявлення про однорідність і ізотропність простору і однорідність часу. Ізотропність означає еквівалентність його властивостей у всіх напрямах. Однорідність простору означає однаковість протікання його явищ в різних точках простору за однакових початкових умов.

 

Маса і сила.

 

Маса.

Розглянемо властивість, притаманну всім тілам, яка на відміну від інерції, має кількісну характеристику.

Інертність – теж властивість, і вона також виявляється в ІСВ. Полягає вона в зміні швидкості тіл(в появі прискорення) під дією зовнішніх тіл. При цьому різні тіла по різному змінюють свою швидкість під дією одного і того ж тіла.

Інертність – властивість, що вимірюються. Маса і є мірою, кількісною характеристикою цієї властивості.

Зазначимо, що взагалі в фізиці маса, може характеризувати і інші властивості тіл:

Наприклад, розглянемо такі співвідношення:

(1)

(2)

, (3)

(4)

В (1) – маса – міра інертності.

В (2) – міра інтенсивності гравітаційної взаємодії(гравітаційна маса).

В (3) – міра внутрішньої енергії тіл при теплопередачах.

В (4) – міра енерговмісту речовини.

В механіці маса – це фізична величина, що є мірою інертності і мірою тяжіння матеріальних об’єктів.

В принципі, не звідки не слідує, що маса, яка створює поле тяжіння, визначає і інерцію того ж тіла. Але велика сукупність дослідів показала, що інертна і гравітаційна маси пропорційна одна одній і чисельно рівні у вибраній системі одиниць(Сі). Цей фундаментальний закон природи називається принцип еквівалентності.

Експериментально принцип еквівалентності встановлений з точністю до

Як слідує з досліду, в рамках класичної механіки масі притаманні дві важливі властивості:

1. Маса – величина адитивна, тобто маса тіла дорівнює сумі мас його окремих частин.

2. Маса тіла – величина постійна і не змінюється при його русі(при )

Маса даного тіла в класичній механіці не залежить від вибору ІСВ.

Сила.

Сила – векторна величина, що є мірою механічної взаємодії чи дії на матеріальну точку або тіло з боку інших тіл чи полів. Ця взаємодія може здійснюватись як при безпосередньому контакті тіл(тиск, тертя), так і між віддаленими тілами через поле тяжіння(гравітаційне).

Сила характеризується числовим значенням(модулем), напрямом в просторі і точкою прикладання. Отже, сила – векторна величина.

Якщо на тіло діє кілька сил, то їх дію можна замінити дією однієї сили, яка називається рівнодійною.

Сили, дію яких замінює рівнодійна називають складовими.

Задача знаходження рівнодійної сили за даними складовими, називається додаванням сил.

Ця задача завжди розв’язується однозначно.

 

Задача знаходження складових сил за заданою рівнодійною, називається розкладанням сил.

Якщо задана тільки рівнодійна сила, то задача знаходження складових сил є невизначеною, тобто має множину розв’язків.

або і т.п.

Для того, задача розкладання рівнодійної сили на складові стала визначеною, необхідно крім рівнодійної, знати напрям однієї з складових

 

Другий закон Ньютона.

 

ІІ закон Ньютона: Прискорення, з яким рухається матеріальна точка, прямо пропорційне діючій на матеріальну точку силі і обернено пропорційне масі матеріальній точки.

(5)

Межі застосування закону.

1. рух тіла розглядається по відношенню до інерціальних систем відліку.

2. Рухоме тіло повинно бути:

a) макроскопічним.

b) матеріальною точкою

3. Маса тіла – величина постійна.

4. Швидкість набагато менша за швидкість світла. v<<c.

5. Для випадку таких взаємодій, коли величина і напрям сил не залежать від швидкостей тіл стосовно даної ІСВ.

При порушенні хоча б однієї з цих умов ІІ закону Ньютона застосовувати не можна.

Самим Ньютоном ІІ закон був сформульований не через прискорення, а через іншу фізичну величину – імпульс руху тіла.

Імпульсом тіла називається векторно-фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість.

- імпульс тіла

- зміна імпульсу тіла

- імпульс діючої сили

(6)

ІІ закон у формулюванні Ньютона:

зміна імпульсу руху пропорційна прикладеній силі, що викликає рух і відбувається вздовж тієї ж прямої, по якій ця сила діє.

Використовується також формула:

(7)

В диференціальній формі:

- найбільш загальне формулювання ІІ закону Ньютона.

Висловимо переваги і недоліки формулювань ІІ закону Ньютона, поданих формулами (5) і (7).

Формула (5) характерна тим, що зліва наведена кінетична характеристика руху(прискорення), а справа – динамічна характеристика тіла, що рухається. Тобто, цей закон зв’язує між собою два розділи: кінематику і динаміку.

Ця формула виражає функціональну залежність, яка полягає в тому, що прискорення прямо пропорційне результуючій силі і обернено пропорційне масі тіла, що рухається.

Основний недолік: прискорення в механіці вважається заданої величиною. Тому для практичних цілей вона не годиться.

Формула (7)

Переваги:

1) вона годиться для розв’язування більшості практичних задач.

2) справа в (7) знаходяться величини, що характеризують саме рухоме тіло, а зліва – величина, що характеризує тіла, які є причиною руху даного тіла.

Недолік: ця форма запису може викликати невірне уявлення, що є причиною, а що наслідком для прискорення і сили.

 

Третій закон Ньютона.

 

У формулюванні Ньютона цей закон звучить так:

1. Дії завжди є рівна і протилежна протидія.

2. Дії двох тіл одне на одне між собою рівні і направлені в протилежні напрями.

Сучасне формулювання ІІ закону Ньютона:

Тіла діють одне на одне з силами, направленими вздовж однієї прямої, рівними за модулем і протилежними за напрямом.

Математично записується:

Третій закон Ньютона не містить ніяких означень і є твердженням, яке вимагає досвідної перевірки.

 

 

 

Сили мають одну природу, прикладені до різних тіл, а отже вони не можуть бути скомпенсовані.

В загальному випадку рівнодійної сил, про які мова йде в ІІІ законі Ньютона, не існує. Однак є один єдиний випадок, коли про рівнодійну можна вести мову в теоретичному плані:

якщо система замкнута(ізольована), тобто в ній діють тільки внутрішні сили, то і до таких сил ІІІ закон застосовний.

Фізично це означає, що внутрішні сили не в змозі вивести систему, як таку зі стану спокою.

Для того, щоб це відбулося, необхідна наявність зовнішніх сил.

ІІІ закон Ньютона забороняє однобічну дію тіл, встановлює обов’язковість двохсторонніх рівних взаємодій тіл(принцип заборони).

Відмітимо, що ІІІ закон Ньютона нічого не говорить про те, яким способом здійснюється взаємодія тіл і про величину сил взаємодії, крім того, що вони рівні і протилежні за напрямом в кожний момент часу.