Основний закон обертального руху абсолютно твердого тіла.

 

Абсолютно тверде тіло визначається як система частинок, зв’язаних між собою такими ньютонівськими силами, які залишають відстані між будь якими двома точками незмінними.

Закони поступального руху абсолютно твердих тіл співпадають з першими двома законами руху Ньютона, якщо в них замінити слово „частинка” на „центр мас”.

Маса тіла і положення його центру мас повністю визначають його поступальний рух. Що стосується обертального руху, то найбільш важливою характеристикою служить тут розподіл речовини відносно центру мас – чи є тіло сильно видовженим, чи навпаки, сплюснутим.

Нехай тверде тіло довільної форми обертається під дією сили навколо деякої осі . Тоді всі його точки описують кола з центрами на цій осі, причому всі точки тіла мають однакову кутову швидкість і однакове кутове прискорення в даний момент часу(мал.1).

Розкладемо силу на 3 взаємно перпендикулярні складові ІІ осі, - дотична.

Обертальний рух тіла виникає тільки складова .

мал.1

Дія сили залежить від моменту сили М.

Моментом М обертаючої сили(обертальним моментом) називається добуток сили на радіус кола , що описує точка прикладання сили

(1)

Подумки розіб’ємо все тіло на дуже малі частинки – елементарні маси. Хоча сила прикладання до однієї точки А тіла, її обертальна дія передається всім частинкам і з елементарними масами . Тоді кожній елементарній масі буде прикладена елементарна сила .

По ІІ закону Ньютона

,

де - лінійне прискорення, яке отримує елементарна маса.

Помноживши обидві частини останньої рівності на радіус кола, яке описує елементарна маса і ввівши замість лінійного, кутове прискорення, отримаємо:

Так як

Добуток елементарної маси на квадрат відстані до осі обертання називається моментом інерції матеріальної точки відносно даної осі.

(2)

Тоді

Просумувавши обертальні моменти , прикладені до всіх елементарних мас, що складають тіло, отримаємо:

(3)

де - обертальний момент, прикладений до тіла.

- момент інерції тіла.

Моментом інерції тіла називається сума моментів інерції всіх матеріальних точок, що складають тіло

(4)

(4а)

Формули (4) і (4а) виражають основний закон динаміки обертального руху(ІІ закон Ньютона для обертального руху).

Момент обертаючої сили, прикладена до тіла, дорівнює добутку моменту інерції тіла на кутове прискорення.

Із формули (4) видно, що кутове прискорення, яке надає тілу обертаючий момент, залежить від моменту інерції тіла: чим більший момент інерції, тим менше кутове прискорення.

Отже, момент інерції характеризує інерційні властивості тіл при обертальному русі, подібно тому, як маса характеризує інерційні властивості при поступальному русі.

Але, на відміну від маси, момент інерції даного тіла може мати, багато значень у відповідності з множиною можливих осей обертання. Тому, говорячи про момент інерції твердого тіла, необхідно обов’язково вказувати, відносно якої осі він розраховується.

Якщо обертальний момент і момент інерції , то формулу (4) можна подати в такому вигляді:

або (5)

(5а)

В наведених формулах - проміжок часу, протягом якого кутова швидкість обертання тіла змінюється від до .

- імпульс моменту сили

- момент імпульсу

Тому ІІ закон динаміки обертального руху в загальному випадку має такий вигляд:

(6)

Швидкість зміни момента імпульса тіла, що обертається, визначається сумарним моментом сил, що діють на тіло.

Моменти інерції деяких тіл.

 

Для неоднорідних тіл і тіл неправильної геометричної форми момент інерції визначають експериментально, а для однорідних тіл геометрично правильної форми – шляхом інтегрування.

Завдання.

1. Момент інерції тонкого стержня довжиною .

2. Момент інерції бруска довжиною і шириною .

3. Момент інерції кільця, зовнішній радіус якого , а внутрішній – .

4. Момент інерції тонкостінного кільця(обруча) радіуса .

5. Момент інерції диску(циліндру) радіусом .

6. Момент інерції кулі радіусом .

Якщо вісь обертання тіла паралельна осі симетрії , але зміщена відносно неї на відстань , то момент інерції відносно паралельно зміщеної осі виражається співвідношенням, що називається теоремою Штейнера:

,

де - момент інерції тіла, відносно осі симетрії.

- момент інерції відносно осі, що проходить на відстані паралельно осі симетрії.