Коливання струни: виведення хвильового рівняння.

Коливання струни: виведення хвильового рівняння.

Розглянемо такі коливання струни з закріпленими кінцями. Зробимо такі припущення:

1. Струна туго натягнута;

2. Струна зроблена з однорідного матеріалу;

3. Струна коливається в одній площині;

4.

L

U

u

X

Струна тонка тому, дією сил ваги будемо нехтувати. Для побудови математичної моделі коливання струни розглянемо всі сили:

 

Виявляється, що хвильове рівняння є законом руху Ньютона (зміна імпульсу дорівнює силі діючих сил).

Уявимо собі ті сили, що діють на струну у напрямках перпендикулярних до осі ОХ:

1. Сила, обумовлена натягом струни:

х

х

 

Сила =Т

2. Зовнішня сила, може довільним чином залежати від часу і просторової змінної: F(t, x) – mg

3. Сили тертя. Якщо струна коливається у певному середовищі, то виникає сила опору пропорційна силі струни.

4. Повертаючи сила. Ця сила направлена проти зміщення струни, якщо u> 0, то сила від’ємна.

Прикладемо тепер рівняння руху Ньютона до невеличкої ділянки і отримаємо

– лінійна густина струни;

– деякі лінійні коефіцієнти;

Спрямуємо і перейдемо до границі, в результаті отримаємо рівняння:

(1)

де

Рівняння (1) є добре відомим у різних прикладаннях телеграфним рівнянням.

Найпростіше хвильове рівняння

(2). Оскільки рівняння (2) містить похідну за часом 2-го порядку, то для отримання єдиного розв’язку при t потрібно знати 2 початкові умови: початкове зміщення струни і початкову швидкість струни

(3)

(3)

Задачу (2) і (3) наз задачею Коші для хвильового рівняння.

 

ФОРМУЛА д’АЛАМБЕРА (розв’язування задачі Коші для хвильового рівняння)

Розглянемо задачу Коші для одновимірного хвильового рівняння

(ДРЧП) , ,

(ПУ)

Розв’язування задачірозіб’ємо на кроки.

Крок 1. Заміна координат t, x новими канонічними координатами , : ,які зводять рівняння до вигляду .

Крок 2. Розв’язування перетвореного рівняння:

довільна функція змінної , , .

Отже, загальний розв’язок рівняння записується у вигляді

.

Крок 3. Повернення до початкових координат t, x.

Для знаходження загального розв’язку рівняння (4) підставимо

в розв’язок (5). В результаті отримаємо

Це загальний розв’язок рівняння (4

Крок 4. Врахування початкових умов.

Для розв’язування задачі Коші (4) підставимо загальний розв’язок (6) хвильового рівняння (який містить дві довільні функції) в початкові умови, щоб знайти конкретні вирази для функцій і . Маємо:

Проінтегрувавши другу рівність в межах від до , отримаємо

Тоді із (7) і (8) отримуємо

а тому

отже, .Розв’язок називають формулою д’Аламбера.

 

РОЗВ’ЯЗУВННЯ ЗМІННОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ НАПІВНЕСКІНЧЕННОЇ СТРУНИ ЗА ДОПОМОГОЮ ФОРМУЛИ д’АЛАМБЕРА

Поставимо перед собою задачу: знайти хвильові рухи напівнескінченної струни, лівий кінець якої жорстко закріплено при даних початкових умовах. Тут є додаткова гранична умова (ГУ), а тому задача має такий вигляд:

(ДРЧП) ,

(ГУ) ,

(ПУ) .

Підставивши загальний розв’язок в початкові умови, маємо

.

Тепер виникає проблема, якої не було під час розв’язування задачі Коші. Розв’язок повинен бути визначеним скрізь лише всередині першого квадранта площини змінних . Отже, ми повинні вміти обчислити значення функції для всіх а значення функції для всіх .

На жаль, перша з формул (11) дозволяє обчислювати лише для , оскільки в початкових умовах функції f(x) та g(x) визначені лише для додатних значень аргумента.

Якщо , то

Що робити, коли ? Для цього скористаємося граничною умовою З її допомогою доозначимо функцію для . Підставивши в граничну умову отримаємо , звідки .

Підстановка знайденого значення в загальний розв’язок дає

,

Комбінуючи розв’язки для та , нарешті отримуємо

розв'язок задачі.

 

Загальні властивості крайових задач

Розглянемо стаціонарний (при ) розв’язок рівняння теплопровідності Оскільки розв’язок не змінюється з плином часу, то і рівняння теплопровідності переходить в рівняння Лапласа . Розглянемо задачу

(ДРЧП)

(ГУ) , ,(ПУ) .

Щоб знайти стаціонарний розв’язок (якщо він існує) покладемо і розв’яжемо крайову задачу

Її розв’язок має вигляд

Коливання струни: виведення хвильового рівняння.

Розглянемо такі коливання струни з закріпленими кінцями. Зробимо такі припущення:

1. Струна туго натягнута;

2. Струна зроблена з однорідного матеріалу;

3. Струна коливається в одній площині;

4.

L

U

u

X

Струна тонка тому, дією сил ваги будемо нехтувати. Для побудови математичної моделі коливання струни розглянемо всі сили:

 

Виявляється, що хвильове рівняння є законом руху Ньютона (зміна імпульсу дорівнює силі діючих сил).

Уявимо собі ті сили, що діють на струну у напрямках перпендикулярних до осі ОХ:

1. Сила, обумовлена натягом струни:

х

х

 

Сила =Т

2. Зовнішня сила, може довільним чином залежати від часу і просторової змінної: F(t, x) – mg

3. Сили тертя. Якщо струна коливається у певному середовищі, то виникає сила опору пропорційна силі струни.

4. Повертаючи сила. Ця сила направлена проти зміщення струни, якщо u> 0, то сила від’ємна.

Прикладемо тепер рівняння руху Ньютона до невеличкої ділянки і отримаємо

– лінійна густина струни;

– деякі лінійні коефіцієнти;

Спрямуємо і перейдемо до границі, в результаті отримаємо рівняння:

(1)

де

Рівняння (1) є добре відомим у різних прикладаннях телеграфним рівнянням.

Найпростіше хвильове рівняння

(2). Оскільки рівняння (2) містить похідну за часом 2-го порядку, то для отримання єдиного розв’язку при t потрібно знати 2 початкові умови: початкове зміщення струни і початкову швидкість струни

(3)

(3)

Задачу (2) і (3) наз задачею Коші для хвильового рівняння.