Задача Коші для рівняння теплопровідності

Задача про поширення тепла в необмеженому однорідному стержні, бічна поверхня якого теплоізольована, математично формулюється так. Знайти обмежену функцію (), яка задовольняє рівнянню теплопровідності () і ПУ (), де неперервна обмежена функція. Скориставшись методом відокремлення змінних, отримуємо:

, де довільний параметр. Проінтегрувавши (9) за параметром отримаємо:

. Поклавши , отримаємо . Порівнявши:

Покласти , .

Підставивши

або, змінивши порядок інтегрування, Внутрішній інтеграл можна обчислити. Дійсно, покладемо Звідки

Тому

Диференціюючи інтеграл за параметром , знаходимо, що

Інтегруючи за частинами, отримуємо

, Звідки . Щоб знайти сталу С, покладемо тут . Це дає

. Отже , і .

Підставивши знаходимо Формулу називають формулою Пуассона. Вона є розв’язком задачі Коші.

13. Граничні умови в задачах дифузійного типу

1. Гу І-го роду (на кінці задано t);

Розглянемо теплову енергію у одновимірному просторі:

 

 

 

U(t,0)=g₁(t);

U(t,L)=g₂(t);

Задачі з ГУ І-го роду зустрічаються досить часто. У деяких випадках суть задачі полягає у тому, щоб знайти керування ГУ, тобто такі g₁(t), та g₂(t), що змушують температуру в середині стержня змінюватися заданим чином.

2. ГУ- ІІ-го роду

g1(t)

g2(t)

Задано t оточуючого середовища. Припустимо, що ми знову розглядаємо теплоізольований мідний стержень, але тепер відмовимося від заданого температурного режиму.

 

 

Задаючи ГУ цього типу ми не можемо вважати граничною температурою стержня такою, як у середовищі, але ми знаємо закон Ньютона.

Якщо t одного кінця стержня менша ніж на другому кінці, то тепло буде надходити у стержень зі швидкістю, яка пропорційна різниці температур

в.т.т.л.к=h [U(t,0)-g₁(t)];

в.т.т.л.к==h [U(t,L)-g₂(t)];

h- коєфіцієнт теплообміну. Отримані рівності разом із законом теплопровідності Фур’є можна використати для запису граничних умов. Закон Фур’є:

Течія тепла, яка проходить через межу області є пропорційною нормальній похідній у напрямку внутрішньої нормалі

в.т.т.л.к=k

в.т.т.л.к=- k

k – коєфіцієнт теплопровідності

Можемо записати ГУ у математичному вигляді. Маємо:

=s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>k</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> [U(t,0)-g₁(t)];

=-s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>k</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> [U(t,L)-g₂(t)];

3. ГУ ІІІ-го роду. Задано течію, зокрема включимо випадок теплоізольваних меж. Через теплоізольовані межі не проходить ніяка течія, а тому нормальна похідна на межі має набувати нульового значення.

U_x(t,0)=0;

U_x(t,L)=0. 0<t<+∞;

14. Хвильове рівняння і граничні умови

Ми розглянули один тип руху- коливання струни, але у природі існують і інші:

- звукові хвилі (подовжні);

- електромагнітні (світлові);

- коливання твердих тіл (подовжні,поперечні та крутильні);

- хвилі ймовірності у Квантовій механіці;

- хвилі ні воді.

Зупинимося на різних типах ГУ, які виникають під час розв’язування задач хвильового характеру. Будемо розглядати лише одновимірні задачі, та ГУ (лінійні). Як правило розрізняють ГУ 3-ох типів:

1. Задача режиму у граничних точках 0,L (ГУ І-го роду)

U(t,0)=g₁(t);

U(t,l)=g₂(t);

2. Задано сили у граничних точках (ГУ ІІ-го роду)

U_x(t,0)=g₁(t);

U_x(t,L)=g₂(t);

3. Пружне закріплення у граничних точках.

U_x(t,0) – ₁ U(t,0)=g­₁(t);

U_x(t,1) - ₂ U(t,l)=g₂(t);

Розглянемо приклад:

1. Нехай мають місце ГУ І-го роду, тоді має місце L=1. У цьому випадку виникає задача:

U_tt=c²U_xx,0<x<1, t>0;

Далі маємо дві граничні умови:

U(t,0)= g₁(t)

t>0;

U(t,l)=g₂(t)

І дві початкові умови:

U(0,x)=f(x);

0<x<1;

U_t(0,x)=g(x)

Характерною задачею є крутильні коливання стержня, лівий кут якого закріплений, а правий повертається на деякий кут. Однією із важливих задач є задача визначення такої функції g₂(f), щоб за мінімальний час погасити коливання струни.

2. Задано сили у граничних точках.

U

х

 

 

Вершини сил, які діють на лівий та правий кінці струни визначаються виразом:

T_Ux(t,0), T_Uxx(t,1). Якщо кінець переміщується уздовж вертикальних направляючих без тертя то ГУ набувають такого вигляду:

U_x(t,0)=0

U_x(t,l)=1

ГУ такого типу виникають наприклад у подовжніх коливаннях пружини з вільним кінцем і коливання пружини під дією сили, яку прикладено до одного кінця.

3. Пружини закріплення кінців.

Нехай h- коєфіцієнт пружності кінців.

 

U

х

Пружини, які прикріплені до кінців струни створюють вертикальні сили. Пропорційні зміщенню кінців.

Зусилля, що створюються пружинами на кінцях струни такі:

Лівий кінець- T_Ux(t,0)

Правий - T_Uxx(t,l)

Враховуючи h маємо такі ГУ:

U_x(t,0)=h/T U(t,0)

U_x(t,1)=- h/T U(t,1)

Або

U_x(t,0)-h/T U(t,0)=0

U_x(t,0)-h/T U(t,1)=0

Для ДРЧП будь-якого типу розрізняють в залежності від типу ГУ І, ІІ, та ІІІ-тю крайові задачі.

Якщо у правих точках мають місце ГУ різних типів, то задачі називають змішаними крайовими задачами.