ФОРМУЛА д’АЛАМБЕРА (розв’язування задачі Коші для хвильового рівняння)

Розглянемо задачу Коші для одновимірного хвильового рівняння

(ДРЧП) , ,

(ПУ)

Розв’язування задачірозіб’ємо на кроки.

Крок 1. Заміна координат t, x новими канонічними координатами , : ,які зводять рівняння до вигляду .

Крок 2. Розв’язування перетвореного рівняння:

довільна функція змінної , , .

Отже, загальний розв’язок рівняння записується у вигляді

.

Крок 3. Повернення до початкових координат t, x.

Для знаходження загального розв’язку рівняння (4) підставимо

в розв’язок (5). В результаті отримаємо

Це загальний розв’язок рівняння (4

Крок 4. Врахування початкових умов.

Для розв’язування задачі Коші (4) підставимо загальний розв’язок (6) хвильового рівняння (який містить дві довільні функції) в початкові умови, щоб знайти конкретні вирази для функцій і . Маємо:

Проінтегрувавши другу рівність в межах від до , отримаємо

Тоді із (7) і (8) отримуємо

а тому

отже, .Розв’язок називають формулою д’Аламбера.

 

РОЗВ’ЯЗУВННЯ ЗМІННОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ НАПІВНЕСКІНЧЕННОЇ СТРУНИ ЗА ДОПОМОГОЮ ФОРМУЛИ д’АЛАМБЕРА

Поставимо перед собою задачу: знайти хвильові рухи напівнескінченної струни, лівий кінець якої жорстко закріплено при даних початкових умовах. Тут є додаткова гранична умова (ГУ), а тому задача має такий вигляд:

(ДРЧП) ,

(ГУ) ,

(ПУ) .

Підставивши загальний розв’язок в початкові умови, маємо

.

Тепер виникає проблема, якої не було під час розв’язування задачі Коші. Розв’язок повинен бути визначеним скрізь лише всередині першого квадранта площини змінних . Отже, ми повинні вміти обчислити значення функції для всіх а значення функції для всіх .

На жаль, перша з формул (11) дозволяє обчислювати лише для , оскільки в початкових умовах функції f(x) та g(x) визначені лише для додатних значень аргумента.

Якщо , то

Що робити, коли ? Для цього скористаємося граничною умовою З її допомогою доозначимо функцію для . Підставивши в граничну умову отримаємо , звідки .

Підстановка знайденого значення в загальний розв’язок дає

,

Комбінуючи розв’язки для та , нарешті отримуємо

розв'язок задачі.

 

КОЛИВАННЯ ОБМЕЖЕНОЇ СТРУНИ (СТОЯЧІ ХВИЛІ)

Розглянемо, випадок, коли гітарну струну, яка закріплена в точках , , привести в рух, для цього розв’яжемо таку крайову задачу гіперболічного типу:

(ДРЧП) , 0< x <L, 0< t <∞;

(ГУ) 0< t <∞;(ПУ) 0≤ x ≤L.

Виявляється, у цьому випадкові біжучі хвилі відбиваються від меж так, що результуючі коливання стають не біжучими, а такими, які зберігають форму в одному положенні, тобто перетворюються в стоячі хвилі.

Знайдемо спочатку стоячі хвилі, тобто розв'язки вигляду

Підставивши і відокремивши змінні, отримуємо два звичайних диференціальних рівняння

де стала –∞< <+∞.

В залежності від значень маємо такі розв'язки рівнянь:

< 0, :

= 0,

> 0, :

Задовольняють лише розв'язки, які відповідають

Знайдемо A, B, C, D та , які задовольняють Г. У.

.

Отже, константа відокремлення (замість ми шукаємо її) повинна задовольняти рівняння , звідки випливає , n =1, 2,....

Отже, послідовність елементарних коливань струни має вигляд

де a_n, b_n – довільні дійсні сталі.

Підстановка в початкові умови дає

Скориставшись співвідношеннями ортогональності

знаходимо

Отже, задача розв’язана. Її розв'язок має вигляд

 

ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ ОДНОРІДНОЇ СТРУНИ

Задача про знаходження вимушених коливань однорідної струни , яка жорстко закріплена на кінцях, під дією зовнішньої сили з густиною зводиться до розв’язування рівняння

(, де лінійна густина струни) при ГУ

та ПУ , .

Розв'язок задачі шукають у вигляді суми

,

ПУ

, ,

Розв'язок зображає вимушені коливання струни (ці коливання відбуваються під дією зовнішньої збурюючої сили за відсутності початкових збурень), а розв'язок зображає вільні коливання струни (вони обумовлені початковими збуреннями).

Функцію знаходимо у вигляді ряду

за власними функціями задачі

, .

Підставляючи .

Розкладаючи функцію в інтервалі в ряд Фур’є за синусами

і порівнюючи де

(, 2,...).

Розв’язуючи рівняння , (, 2,..) знаходимо

Розв'язок задачі зображається у вигляді

, де

,

.