Ортогональне доповнення підпростору.

Нехай U – деякий підпростір евклідового простору Еn.

Означення. Вектор а простору Еn називається ортогональним підпростору U (записують а ^U), якщо він ортогональний довільному вектору цього підпростору.

Теорема 10. Для того, щоб вектор а був ортогональний підпростору U достатньо, щоб він був ортогональний кожному вектору деякого базиса цього підпростору.

Означення. Підпростори U i V простору Е називаються ортогональними і позначають U^V, якщо кожний вектор u є U ортогональний кожному вектору v є V.

Теорема 11. Для того, щоб підпростори U i V простору Е були ортогональними достатньо, щоб кожний вектор деякого базиса підпростору U був ортогональний кожному вектору деякого базиса підпростору V.

Означення. Підпростір U^{^} всіх векторів простору Е, ортогональних підпростору U, називається ортогональним доповненням підпростору U.

Теорема 12. Евклідів простір Еn є прямою сумою кожного свого підпростору U і його ортогонального доповнення U^{^}:

Еn=UÅ U^{^}.

Наслідок. DimEn=dimU+dim U^{^}.

Приклад.

1) Ортогоналізувати систему векторів:

b₁=(1,2,3,4), b₂=(0,5,0,5), b₃=(8,10,-8,14)

Процес ортогоналізації застосовується лише до лінійно незалежної системи векторів, тому перевіримо дану систему на лінійну залежність склавши матрицю з координат даних векторів і знайдемо її ранг.

A = r(A)=3

Отже, вектори b₁,b₂,b₃ утворюють лінійно незалежну систему векторів. За перший вектор с₁ ортогональної системи візьмемо вектор b₁:

с₁=b₁=(1,2,3,4).

Далі шукатимемо вектор с₂ у формі лінійної комбінації векторів с₁ і b₂:

с₂=lc₁+b₂.

Оскільки вектор c₂ повинен бути ортогональним до с₁, то

(с₁,с₂)=(с₁,lс₁+b₂)=l(c₁,c₁)+(c₁,b₂)=0 =>

=> l=-(c₁,b₂)/(c₁,c₁)=-(1*0+2*5+3*0+4*5)/(1+4+9+16)=-1

Отже, с₂=-с₁+b₁=(-1,3,-3,1).

Вектор с₃ шукатимемо у формі лінійної комбінації векторів с₁,с₂ і b₃:

с₃=g₁c₁+g₂с₂+b₃.

Оскільки вектор с₃ повинен бути ортогональним до с₁,с₂, то

(с₁,с₃)=(c₁,g₁c₁+g₂с₂+b₃)=g₁(c₁,c₁)+g₂(c₁,c₂)+(c₁,b₃)=

=g₁(c₁,c₁)+(c₁,b₃)=0

(с₂,с₃)=(c₂,g₁c₁+g₂с₂+b₃)=g₁(c₂,c₁)+g₂(c₂,c₂)+(c₂,b3)=

=g₂(c₂,c₂)+(c₂,b₃)=0.

Звідки g₁=-(с₁,b₃)/(c₁,c₁) i g₂=-(с₂,b₃)/(c₂,c₂)

g₁=-(1*8+2*10-3*8+4*14)/(1+4+9+16)=-2

g₂=-(-1*8+3*10+3*8+1*14)/(1+9+9+1)=-3

Отже, с₃=-2с₁-3с₂+b₃=-2(1,2,3,4)-3(-1,3,-3,1)+(8,10,-8,14)= (9,-3,-5,3)

Одержали ортогональну систему:

с₁=(1,2,3,4), c₂=(-1,3,-3,1), c₃=(9,-3,-5,3).

2)Перевірити чи будуть вектори а₁=(1,-2.2,-3) і а₂=(2,-3,2,4) ортогональні, і якщо так, то доповнити систему цих векторів до ортогонального базису простору, в якому вони розглядаються. Перейти від знайденого базису до ортонормованого.

Оскільки (а₁,а₂)=1*2+(-2)*(-3)+2*2-3*4=0, то вектори а₁,а₂ ортогональні. Знайдемо тепер такий вектор

х=(х₁,х₂,х₃,х₄) є Е, що (а₁,х)=(а₂,х)=0.

Звідси одержимо СЛОР:

Загальний розв’язок системи (2х₃-14х₄,2х₃-10х₄,х₃,х₄),x₃,x₄єR

Фундаментальна система розв’язків

{(2,2,1,0),(-17,-10,0,1)}={x¢,x¢¢}.

Вектори x¢,x¢¢ фундаментальної системи розв’язків ортогональні до векторів а₁,а₂ (їх знайдено з цієї умови). Якби ще вектори фундаментальної системи були ортогональними, то система векторів а₁,а₂, x¢,x¢¢ була б ортогональним базисом простору Е₄ і залишилося б тільки пронормувати його. Але (x¢,x¢¢)¹0 і тому ортогоналізуємо спочатку систему векторів x¢,x¢¢.

Згідно процесу ортогоналізації маємо

с₁=х₁, с₂=lс₁+b₂,

де l=-(с₁, x¢¢)/(c₁,c₁)=-(34-20)/9=6.

Тоді с₂=6с₁+x¢¢=(-5,2,6,1).

Отже, система векторів є ортогональною системою ненульових векторів. Оскільки кількість елементів цієї системи дорівнює розмірності всього простору Е₄,

то а₁,а₂,с₁,с₂ – ортогональний базис простору Е₄. Для перетворення його в ортонормований треба кожен з векторів, що входить до базису, розділити на його норму. Знайдемо

úúа₂êê = = , úúа₂êê= , úúс₁êê=3, úúс₂êê= .

Тоді = =

- ортонормований базис.

3)Знайти ортонормовану фундаментальну систему розв’язків для системи рівнянь:

Загальний розв’язок х=(2х₂+2/7х₄,х₂,-5/7х₄,х₄),x₄ є R.

 

X1	X2	X3	X4
	-4	-25	-35

 

ФСР: (2,1,0,0), (2,-4,-25,-35)

Ортогоналізуємо систему:

b₁=a₁=(2,1,0,0)

b₂=lb₂+a₂ => (b₁,b₂)=l(b₁,b₁)+(b₁,a₂) =>

l=-(b₁,a₂)/(b₁,b₁)=-(2*2-1*4+0*0)/(4+1+0+0)=0

b₂=a₂=(2,-4,-25,-35)

úúb₁êê= úúb₂êê=

Отже, ортонормована фундаментальна система розв’язків: 1/ (2,1,0,0), 1/ (2,-4,-25,-35).

4)При яких значеннях параметра l вектори а₁=(0,1,l), а₂=(1,-1,1), а₃=(-2,-1,l) утворюють ортогональний базис простору R.

Для того, щоб вектори утворювали ортогональний базис потрібно, щоб (а_i,а_j) = 0.

(а₁,а₂) = 0-1+l = 0

(а₁,а₃) = 0-1+l² = 0

(а₂,а₃) = -2+1+l = 0

Отже, l = 1

5)В евклідовому просторі F₃ многочленів степеня не більше 2 над полем R зі скалярним добутком, заданим рівністю (f,g) = ,задані вектори f₁,f₂,f₃. Ортогоналізувати базис f₁ = 1, f₂ = (2х-1),

f₃ = (6х²-6x+1). Знайти координати a₁,a₁,a₃,b₁,b₂,b₃ многочленів

j₁(х) = 1+2х, j₂(х) = 1-5х+6х² в цьому базисі і обчислити їх скалярний добуток двома способами:

(j₁,j₂) = , (j₁,j₂) = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

1. g₁(x) = f₁ = 1

g₂(x) = lf₁+f₂ =l+ (2x-1)

(g₁,g ₂) = 0

l = -(g₁,f₂)/(f₂,f₂)= - =- = 0

g₂(x) = (2x-1)

2. a) j₁ = af₁+bf₂+cf₃

1+2x = a+b (2x-1)+c (6x²-6x+1)

j ₁= 2f₁+ f₂+0*f₃

b) j₂ ==af₁+bf₂+cf₂

1-5x+6x² = a+ (2x-1)+ c(6x²-6x+1)

j₂ = 1/2f₁+ /6f₂+ /5f₃

3. (j₁,j₂) = (1+2x)(1-5x+6x²)dx =

= =

= =

= = 1-3/2-4/3+3 = 7/6

(j₁,j₂) = 2*1/2+ /3* /6+0* /5 = 1+1/6 = 7/6
6)Знайти ортогональну проекцію а і ортогональну складову b вектора v відносно підпростору L, породженого векторами а₁,а₂,а₃, якщо

а₁ = (2,1,-4), a₂ = (3,5,-7), a₃ = (4,-5,-6), v = (-12,9,-12).

Знайдемо базис L:

Базис складається з векторів а₁,а₂. Ортогоналізуємо цей базис:

b₁ = a₁ = (2,1,-4)

b₂ = a₂-b₁(a₂,b₁)/(b₁,b₁) = a₂-b₁(6+5+28)/(4+1+16) =a₂-13/7b₁ =

= (3,5,-7)-13/7(2,1,-4) = 1/7(-5,22,3)

Знайдемо ортогональну проекцію а даного вектора v на L:

а = (v,b₁)/(b₁,b₁)b₁+(v,b₂)/(b₂,b₂)b₂ =

= (-24+9+48)/(4+1+16)b₁+(12*5/7+9*22/7-2*3/7):(25/49+484/49+9/7)b₂ = =11/7(2,1,-4)+3/7(-5,22,3) = (1,11,-5).

Знайдемо ортогональну складову b вектора v відносно L:

b = v-a = (-12,9,-12)-(1,11,-5) = (-13,-2,-7).