Сходимость. Полные метрические пространства

 

Введем некоторые понятия теории метрических пространств, которые будут использованы в дальнейшем.

Пусть означает некоторую точку метрического пространства , а – положительное число.

Определение. Совокупность точек пространства , удовлетворяющих неравенству

называется замкнутым шаром и обозначается символом .

Точка называется центром этого шара, а число – радиусом шара.

Определение. Совокупность точек , удовлетворяющих неравенству

,

называется открытым шаром и обозначается символом .

Открытый шар радиуса с центром в точке называют – окрестностью точки и обозначают символом .

Определение. Точка называется точкой прикосновения множества , если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из .

Совокупность всех точек прикосновения множества называется замыканием этого множества и обозначается символом .

Определение. Точка называется предельной точкой множества , если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из .

Определение. Точка , принадлежащая называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малой ее окрестности нет точек из , отличных от .

Пусть – последовательность точек в метрическом пространстве .

Определение. Последовательность сходится к точке , если

.

Следующая теорема устанавливает связь между понятиями предела и точкой прикосновения множества.

Теорема. Для того чтобы точка была точкой прикосновения множества , необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность точек из , сходящаяся к .

Пусть в метрическом пространстве имеется два множества и .

Определение. Множество называется плотным в множестве , если . В частности, множество называется всюду плотным (в пространстве ), если его замыкание совпадает со всем пространством .

Например, множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой.

Пространства, в которых имеется счетные всюду плотные множества, называют сепарательными.

Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки или, что то же самое, если оно совпадает со своим замыканием: .

Определение. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если для любого существует такое число , что для всех и выполняется неравенство .

Нетрудно заметить, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Однако обратное утверждение верно не во всяком метрическом пространстве.

Определение. Если в метрическом пространстве любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

Например, евклидовы пространства , , а также пространство являются полными.