Принцип сжимающих отображений

 

Вопрос о существовании и единственности решений алгебраических, трансцендентных, дифференциальных и других типов уравнений можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Одним из критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях является так называемый принцип сжимающих отображений.

Отображение метрического пространства в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число , что для любых двух точек и пространства выполняется неравенство

 

.

 

Точка называется неподвижной точкой отображения , если выполняется равенство

.

 

Можно показать, что имеет место следующее утверждение.

Теорема (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку.

Принцип сжимающих отображений можно использовать для доказательства существования и единственности решений для уравнений различных типов. Следует отметить, что принцип сжимающих отображений позволяет не только доказать существование и единственность решения, но и дает метод нахождения приближенного решения. Этот метод называют методом итераций или методом последовательных приближений.

Рассмотрим применение этого метода к отысканию приближенного решения уравнения

, (8.1)

 

где функция определена на промежутке и удовлетворяет условию Липшица

, (8.2)

 

с константой и отображает промежуток в себя.

В этом случае есть сжимающее отображение и, согласно сформулированной выше теореме последовательность чисел

, , ,…, …

сходится к единственному корню уравнения (8.1).

Если функция имеет на промежутке производную и при этом выполняется неравенство

 

, (8.3)

 

где – некоторая постоянная, то легко видеть, что условие сжатости (8.2) выполнено.

 

Рассмотрим примеры.

Пример 1. На промежутке найти действительный корень уравнения

 

.

 

Записав данное уравнение в виде (8.1), получим

.

Легко проверяется, что производная на промежутке принимает только положительные значения и удовлетворяет условию (8.2).

Используя метод итераций и положив в первом шаге , получим с помощью Mathcad Professional,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Пример 2. На промежутке найти действительный корень уравнения

.

Как и в предыдущем примере запишем данное уравнение в виде

.

В этом примере производная на промежутке принимает только отрицательные значения, но условие (8.2) по прежнему выполняется. Используя метод итераций и положив вначале будем производить вычисления с помощью Mathcad Professional.

Геометрически метод итераций можно пояснить следующим образом. Построим на плоскости графики функций и . Каждый вещественный корень уравнения (8.1) является абсциссой точки пересечения кривой с прямой (рис.3).

Рис.3

 

Отправляясь от некоторой точки , построим ломаную линию («Лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси и оси , так что вершины лежат на кривой , а вершины на прямой . Общие абсциссы точек и , и , и … представляют собой последовательные приближения к корню .

Возможен также (рис.4) другой вид ломаной («Спираль»). Легко заметить, что решение в виде «лестницы» получается, если производная положительна, а решение в виде спирали, если отрицательна.

Рис.4

Если , то процесс итерации может быть расходящимся (рис.5).

Рис. 5

 

Пусть теперь требуется решить уравнение , причем примем для определенности, что , и на выполнено неравенство

, (8.4)

где и – некоторые постоянные. Введем в рассмотрение функцию

,

где – некоторая постоянная и заметим, что решение уравнения равносильно решению уравнения .

Так как , то, используя (8.4) будем иметь

.

Выберем теперь число так, чтобы выполнялось неравенство (8.3), т.е. потребуем выполнения двух равенств

, (8.5)

Решая систему (8.5) двух уравнений относительно и , получим

, (8.6)

и заметим, что условие выполнено.

Пример. Требуется найти приближенное значение корня уравнения

 

на промежутке .

Легко проверяется, что , а . Выпишем производную и заметим, что на промежутке выполняется неравенство

,

 

а тогда в соответствии с равенствами (8.6), получим

 

, .

 

Введем в рассмотрение функцию

 

 

и используя метод итераций положим сначала , а затем, производя вычисления с помощью Mathcad Professional, получим

То есть для получения искомого решения проделали 12 шагов.

 

 

Библиографический список

 

1. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. ГИФМЛ, М, 1958.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд-во «Наука». Гл. ред. физ-мат. лит. М. – 1972.

3. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. Гос. Изд-во физ-мат. лит. М, 1962.

4. Треногин В.А. Функциональный анализ. Изд-во «Наука». Гл. ред. физ-мат. лит. М. – 1980.

5. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. Гос. Изд-во техн-теор. лит. М, 1956.

Предметный указатель

 

оглавление

Предисловие. 3

Введение. 4

Глава 1. Линейные пространства. 5

§ 1. Введение. 5

§ 2. Определение линейного пространства. 7

§ 3. Свойства линейного пространства. 9

§ 4. Линейная зависимость. 12

§ 5. Базис и координаты.. 14

§ 6. Размерность. 16

§ 7. Подпространства. 16

Глава 2. Евклидовы пространства. 19

§ 1. Введение. 19

§ 2. Определение евклидова пространства. 20

§ 3. Длина вектора. 22

§ 4. Неравенство Коши-Буняковского. 23

§ 5. Неравенство треугольника. 24

§ 6. Угол между векторами. 25

§ 7. Ортонормированный базис. 26

Глава 3. Линейные операторы.. 29

§ 1. Определение линейного оператора. 29

§ 2. Примеры линейных операторов. 33

§ 3. Действия над линейными операторами. 39

Глава 4. Преобразование координат. 43

§ 1. Замена базиса. 43

§ 2. Ортогональные преобразования. 46

§ 3. Матрица оператора при замене базиса. 48

Глава 5. Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов. 49

§ 1. Задача о проекции вектора и перпендикуляре к нему. 49

§ 2. Несовместные системы линейных уравнений. 50

§ 3. Метод наименьших квадратов. 54

Глава 6. Собственные векторы и собственные числа. 57

§ 1. Определение собственных векторов и собственных чисел. 57

§ 2. Вычисление собственных векторов и собственных чисел в конечномерном пространстве. 58

§ 3. Собственные векторы симметричных операторов. 62

Глава 7. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. 64

§ 1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 64

§ 2. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. 73

§ 3. Малые колебания механических систем.. 78

Глава 8. Элементы теории метрических пространств. 82

§ 1. Определение метрического пространства. 82

§ 2. Сходимость. Полные метрические пространства. 84

§ 3. Принцип сжимающих отображений. 87

Библиографический список. 95

Предметный указатель. 96

 

 

 

Ольга Владимировна Афанасьева

Александр Алексеевич Потапенко

 

Функциональный анализ

В задачах управления

Учебное пособие

 

 

Редактор И.Н. Садчикова

 

Сводный темплан 2005 г.

 

Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97

 

Санитарно-эпидемиологическое заключение

№ 78.01.07.953.П.005641.11.03. от 24.11.2003 г.

 

 

Подписано в печать Формат 60´84 1/16

 

Б.кн.-журн. П.л. Б.л. РТП РИО СЗТУ

 

Тираж 100 Заказ

 

 

Северо-Западный государственный заочный технический университет

РИО СЗТУ,

член Издательско-полиграфической ассоциации университетов России

191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5

* Иногда апеллируя к привычным геометрическим представлениям, элементы линейного пространства называют не векторами, а точками; естественно, такое изменение названия не влечет никаких изменений в содержании изложенного.