Функции. Графики основных элементарных функций.

Пусть задано числовое множество .

Если каждому числу поставлено в соответствие единственное число , то говорят, что на множестве задана числовая функция:

Множество называется областью определения функции и обозначается .

Множество, состоящее из всех элементов , где называется областью значений функции и обозначается .

Число часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число – зависимой переменной или, собственно, функцией переменной . Число , соответствующее значению , называют значением функции в точке и обозначают .

Для того чтобы задать функцию , нужно указать:

1) ее область определения ;

2) указать правило , по которому каждому значению ставится в соответствие некоторое значение .

Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

Функции и называются равными, если они имеют одну и ту же область определения D и для каждого значения этих функций совпадают. В этом случае пишут , или .

Если же значения этих функций совпадают лишь на некотором множестве и , то говорят, что функции равны на множестве .

Пусть функции и определены на одном и том же множестве . Тогда функция, значения которой в каждой точке равны , называется суммой функций и и обозначается . Точно так же определяются разность , произведение и частное двух функций (частное определено на множестве , если на этом множестве ).

Пусть функции и определены на множествах и соответственно, причем множество значений функции содержится в области определения функции . Тогда функция, принимающая при каждом значение , называется сложной функций или суперпозицией функций и и обозначается . Важно отметить, что в общем случае суперпозиция не совпадает с .

Способы задания функции.

Функции могут задаваться различными способами:

1. Самый распространенный из них – аналитический, когда числовая функция задается при помощи формулы. Например: .

2. Функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Например:

3. Функции могут задаваться при помощи графиков.

Определение. Графиком функции в выбранной системе координат называется множество всех точек , для которых выполняется равенство .

Число называется нулем функции , если .

Графики элементарных функций.

Линейная функция.

Функция называется линейной функцией.

График линейной функции является прямой.

Свойства линейной функции:

1). Область определения функции: .

2). Область значений: .

3). Линейная функция не является ни четной, ни нечетной.

Примеры линейных функций:

 

Квадратичная функция

Квадратичной называется функция вида , где , – любые действительные числа.

График функции при называется параболой.

Свойства квадратичной функции:

1). Область определения функции: .

2). Область значений: .

3). Координаты вершины параболы : , .

4). Если , то ветви параболы направлены вниз. Если – вверх.

5). Прямая является осью симметрии графика квадратичной функции.

Пример квадратичной функции :

Гипербола

Функция вида , где , ( - коэффициент обратной пропорциональности) называется функцией обратной пропорциональности.

График функции , называется гиперболой.

Свойства функции обратной пропорциональности:

1). Область определения функции: .

2). Область значений: .

3). Функция нечетна.

4). Функция не пересекает координатные оси.

5). При , при

6). Функция убывает на промежутках и .

7). Прямые и являются асимптотами (при и соответственно).