Степенная функция с натуральным показателнм.

Степенной функцией с натуральным показателем называется функция .

При получаем прямую пропорциональность: ; при – квадратную параболу; при – обратную пропорциональностьилигиперболу.

Свойства степенной функции:

1). Область определения функции:

2). Для любых график функции проходит через точку .

3). Для любых график функции проходит через точку .

Степенные функции имеют смысл и при , но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли чётным числом или нечётным.

Функция четная:	Функция нечетная:
При	При ; при
Функция возрастает на Функция убывает на	Функция возрастает на
График функции аналогичен графику функции (парабола)	График функции аналогичен графику функции (кубическая парабола)

 

Пример степенных функций и :

 

5. Функция .

Свойства функции корня:

При четном функция обладает теми же свойствами, что и функция :

1). Область определения: луч . Это следует из, того что выражение определено лишь при .

2). Функция ни четна, ни нечетна

3). Функция возрастает на луче .

4). График функции напоминает график функции :

 

 

При нечетном функция обладает теми же свойствами, что и функция :

1). Область определения функции – вся числовая прямая.

2). Функция нечетна.

3). Функция возрастает на всей числовой прямой.

4). График функции напоминает график функции :

 

 

 

Показательная функция

Функция вида , при называется показательной функцией с основанием .

Свойства показательной функции:

1). Область определения функции:

2). Область значений: .

3). Если , то и если , то .

4). При функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой.

При функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой.

Примеры показательных функций и :

 

 

 

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида , при .

Логарифмическая функция является функцией, обратной показательной.

Свойства логарифмической функции:

1). Область определения функции:

2). Область значений: .

3). Функция не является ни четной, ни нечетной.

4). Функция непрерывна и не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

5). При функция строго возрастает, а при строго убывает.

6). При функция выпукла вверх, а при выпукла вниз.

Пример логарифмических функций и :

 

 

 

Предел функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Обозначение: .

Запишем это определение коротко:

.

Квантор всеобщности читается: «для всех». Квантор существования заменяет слово «существует». Запись означает, что «из следует ». А указывает на эквивалентность высказываний и , т. е. «из следует и из следует ».

Геометрический смысл предела функции поможет понять рис. 13.1. Для любой -окрестности точки (ось ) найдется такая -окрестность точки (ось ), что для всех точек этой окрестности, кроме, быть может, , соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки . Иначе говоря, точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми , . Величина зависит от выбора , поэтому пишут .

Пусть функция определена на всей числовой оси.

Обозначение: .

Запишем определение предела функции коротко:

.

Геометрический смысл этого определения: для любой e‑окрестности точки (рис. 13.2) найдется такая окрестность бесконечно удаленной точки (ось ),

что для всех точек этой окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки , т. е. точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми , .

Если рассматривается поведение функции при или при , то пишут и, соответственно, .

Пусть определена в некоторой окрестности точки . Определение. Функция называется бесконечно большой при (включая бесконечность), если .

Запишем определение коротко:

.

Геометрический смысл определения: для любой окрестности бесконечно удаленной точки найдется такая -окрестность точки , что для всех точек этой окрестности, кроме точки , соответствующие значения функции лежат в окрестности , т. е. точки графика лежат выше прямой и ниже прямой (рис. 13.3).

Если функция стремится к бесконечности при , принимая только положительные значения, то пишут , а если, принимая лишь отрицательные значения, то пишут .

Пусть функция определена на всей числовой оси.

Обозначение: .

Коротко определение:

Геометрический смысл определения: для любой окрестности бесконечно удаленной точки оси найдется такая окрестность бесконечно удаленной точки оси , что как только точка попадает в эту окрестность, так сразу соответствующие значения функции лежат в окрестности , т. е. точки графика лежат выше прямой и ниже прямой (рис.13.4).

На экзамене достаточно привести классическое определение (1 случай). Но как выглядит определение для других случаев знать надо (это всегдашний дополнительный вопрос!)