Многочлены и действия над ними.

Определение. Для действительной переменной x функция вида , где a и x –действительные числа, а n – натуральное число или 0 (по-другому это можно записать как ), называется одночленом с действительным коэффициентом.

Определение. Многочлен ‑ это сумма одночленов, т.е. функция вида

.
При этом называется старшим коэффициентом и , ‑ свободным членом, n ‑ степенью многочлена.

Многочлен тождественно равен 0 тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны 0.

Если в записи многочлена нет какой-либо степени неизвестного, это значит, что коэффициент при этой степени равен 0.

На множестве многочленов определены следующие действия:

1. Сложение.

2. Умножение.

3. Деление с остатком.

Разделить на ‑ значит записать в виде , или . Последняя запись аналогична записи для чисел: , или 17 = 5 × 3 + 2.

Теорема (о делении с остатком) [Для любых многочленов и существуют, и притом единственные, многочлены и , такие, что

. (11.1)
При этом степень меньше степени , ‑ неполное частное, ‑ остаток. Разделить на ‑ значит записать в виде (11.1).

Для практического нахождения частного и остатка существует метод деления «уголком».

Пример 11.1. Выполнить «уголком» деление с остатком:

= на = .

Решение. Запишем делимое и делитель как при делении многозначных чисел:

 

Находим частное от деления старшего члена делимого на старший член делителя () и записываем результат в графу частного:

x

Умножаем делитель на результат деления и записываем под делимым:

x

Вычитаем из делимого результат умножения:

x

Проверяем степень получившегося в результате вычитания многочлена. Если она меньше степени делителя, то процесс деления закончен, и полученный многочлен является остатком. В противном случае деление продолжается аналогично описанному ранее:

x ‑ 1

‑ 4 x

Так как степень полученного многочлена меньше степени делителя, то процесс деления закончен. В результате: = x – 1– неполное частное, а

= –4 x – остаток.

Ответ: , или

.

Определение. Корнем многочлена называется число такое что .

Теорема Безу. Для любой функции и числа верно равенство:

где .

Следствие. Число является корнем тогда и только тогда, когда делится на без остатка.

Удобной для деления на многочлены вида () является схема Горнера. Рисуем таблицу, в первой строке которой записываем все коэффициенты (включая нулевые).

				…
				…

‑ коэффициенты неполного частного от деления на (); ‑ остаток от деления, который по теореме Безу равен . Если = 0, то говорят, что делится на () нацело и ‑ корень многочлена .

Пример 11.2. Разделить на .

Решение. Воспользуемся схемой Горнера. Нарисуем таблицу и выполним расчеты.

		‑2		‑6

 

Итак, , где ‑ коэффициенты неполного частного. Следовательно, .

Ответ: = .

Здесь примеры приведены для того, чтобы вы вспомнили, как это делается. Рассказывать их не нужно.