Обратная матрица. Ранг матрицы.

Матрицы. Определители. Основные понятия.

 

Определение. Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица вида:

или ,

где

Числа a_ij - называются элементами матрицы.

Если m=1, а n >1, то матрица является матрицей-строкой.

Если m >1, а n=1, то матрица является матрицей-столбцом.

Если m=n, то матрица называется квадратной, а число её строк (или столбцов) называется порядком матрицы.

Две матрицы A и B называются равными, если их размер одинаков и a_ij=b_ij. Нулевая матрица - это матрица, у которой все элементы равны нулю.

Единичной матрицей называется квадратная матрица:

.

Определение. Матрицей транспонированной к матрице A размерности m x n, называется матрица A^T размерности n x m, полученная из матрицы A, если её строки записать в столбцы, а столбцы - в строки.

Матрицы одинакового размера (однотипные) можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.

Определение. Суммой (разностью) двух однотипных матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме или разности .

Произведением матрицы A на число p называется матрица, элементы которой равны pa_ij

или (C_ij)=(pa_ij)

Произведением двух квадратных матриц A и B называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-ой строки и k-го столбца, является суммой парных произведений элементов i-ой строки первой матрицы на элемент k-ой строки второй матрицы С=АВ.

То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

Матрицы для которых АВ=ВА, называются коммутирующими.

При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.

Линейной комбинацией однотипных матриц А₁, А₂, …, А_к с коэффициентами λ₁, λ₂, …, λ_к называется матрица той же размерности А=А₁λ₁+А₂λ₂+…+А_кλ_к=0.

Определение. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента a₁₁.

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице , называется число равное .

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице , называется число равное .

Определение. Минор элемента a_ij - определитель, который получается из исходного, вычеркиванием i -го столбца и j -ой строки.

Определение. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя называется его минор взятый со знаком .

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице n-го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

 

Квадратичные формы.

 

Определение. О днородный многочлен второй степени относительно переменных х₁ и х₂

Ф(х₁, х₂) = а ₁₁ ,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х₁ и х₂.

Определение. Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁, х₂ и х₃

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁, х₂ и х₃.

 

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

 

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х₁, х₂.

Если задана квадратичная форма Ф(х₁, х₂) = а ₁₁ , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х₁ и х₂.

 

 

8. Кривые второго порядка на плоскости (окружность, эллипс, гипербола, парабола).

 

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

где - вещественные числа, и хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение:

(8.1.)

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Пусть и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 8.2).

Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна , а расстояние между фокусами - . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение: (8.2)

где

Рис.8.2.

Уравнение (8.2) называется каноническим уравнением эллипса.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Для получения уравнения гиперболы выберем систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось направим вдоль этого отрезка, а ось ординат - перпендикулярно к нему (рис. 8.3).

Рис. 8.3.

Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение: (8.3)

где

Уравнение (8.3) называется каноническим уравнением гиперболы.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой, параболы.

Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса опустим перпендикуляр на директрису . Начало координат расположим на середине отрезка , ось направим вдоль отрезка так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось проведем перпендикулярно оси (рис. 8.4).

Рис. 8.4.

Пусть расстояние между фокусом и директрисой параболы равно . Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

(8.4)

Уравнение (8.4) называется каноническим уравнением параболы.

 

Линейная функция.

Функция называется линейной функцией.

График линейной функции является прямой.

Свойства линейной функции:

1). Область определения функции: .

2). Область значений: .

3). Линейная функция не является ни четной, ни нечетной.

Примеры линейных функций:

 

Квадратичная функция

Квадратичной называется функция вида , где , – любые действительные числа.

График функции при называется параболой.

Свойства квадратичной функции:

1). Область определения функции: .

2). Область значений: .

3). Координаты вершины параболы : , .

4). Если , то ветви параболы направлены вниз. Если – вверх.

5). Прямая является осью симметрии графика квадратичной функции.

Пример квадратичной функции :

Гипербола

Функция вида , где , ( - коэффициент обратной пропорциональности) называется функцией обратной пропорциональности.

График функции , называется гиперболой.

Свойства функции обратной пропорциональности:

1). Область определения функции: .

2). Область значений: .

3). Функция нечетна.

4). Функция не пересекает координатные оси.

5). При , при

6). Функция убывает на промежутках и .

7). Прямые и являются асимптотами (при и соответственно).

Показательная функция

Функция вида , при называется показательной функцией с основанием .

Свойства показательной функции:

1). Область определения функции:

2). Область значений: .

3). Если , то и если , то .

4). При функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой.

При функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой.

Примеры показательных функций и :

 

 

 

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида , при .

Логарифмическая функция является функцией, обратной показательной.

Свойства логарифмической функции:

1). Область определения функции:

2). Область значений: .

3). Функция не является ни четной, ни нечетной.

4). Функция непрерывна и не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

5). При функция строго возрастает, а при строго убывает.

6). При функция выпукла вверх, а при выпукла вниз.

Пример логарифмических функций и :

 

 

 

Предел функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Обозначение: .

Запишем это определение коротко:

.

Квантор всеобщности читается: «для всех». Квантор существования заменяет слово «существует». Запись означает, что «из следует ». А указывает на эквивалентность высказываний и , т. е. «из следует и из следует ».

Геометрический смысл предела функции поможет понять рис. 13.1. Для любой -окрестности точки (ось ) найдется такая -окрестность точки (ось ), что для всех точек этой окрестности, кроме, быть может, , соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки . Иначе говоря, точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми , . Величина зависит от выбора , поэтому пишут .

Пусть функция определена на всей числовой оси.

Обозначение: .

Запишем определение предела функции коротко:

.

Геометрический смысл этого определения: для любой e‑окрестности точки (рис. 13.2) найдется такая окрестность бесконечно удаленной точки (ось ),

что для всех точек этой окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки , т. е. точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми , .

Если рассматривается поведение функции при или при , то пишут и, соответственно, .

Пусть определена в некоторой окрестности точки . Определение. Функция называется бесконечно большой при (включая бесконечность), если .

Запишем определение коротко:

.

Геометрический смысл определения: для любой окрестности бесконечно удаленной точки найдется такая -окрестность точки , что для всех точек этой окрестности, кроме точки , соответствующие значения функции лежат в окрестности , т. е. точки графика лежат выше прямой и ниже прямой (рис. 13.3).

Если функция стремится к бесконечности при , принимая только положительные значения, то пишут , а если, принимая лишь отрицательные значения, то пишут .

Пусть функция определена на всей числовой оси.

Обозначение: .

Коротко определение:

Геометрический смысл определения: для любой окрестности бесконечно удаленной точки оси найдется такая окрестность бесконечно удаленной точки оси , что как только точка попадает в эту окрестность, так сразу соответствующие значения функции лежат в окрестности , т. е. точки графика лежат выше прямой и ниже прямой (рис.13.4).

На экзамене достаточно привести классическое определение (1 случай). Но как выглядит определение для других случаев знать надо (это всегдашний дополнительный вопрос!)

 

Рекуррентные уравнения.

Определение. Если каждый последующий член числовой последовательности выражается через предыдущие , ,…, и при этом определены первые k ее членов, то говорят, что последовательность задана рекуррентно. Само число k назвается степенью, либо глубиной рекуррентности.

Простейшими примерами таких последовательностей являются хорошо знакомые со школы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Если задано рекуррентное соотношение k -го порядка, то ему удовлетворяет бесконечно много последовательностей.

Дело в том, что первые k элементов последовательности можно задать совершенно произвольно - между ними нет никаких соотношений. Но если первые k элементов заданы, то все остальные элементы определяются совершенно однозначно - элемент выражается в силу рекуррентного соотношения через ; элемент - через и т.д.

Пользуясь рекуррентным соотношением и начальными членами, можно один за другим выписывать члены последовательности, причем рано или поздно получим любой ее член. Однако при этом придется выписать и все предыдущие члены - ведь не узнав их, мы не узнаем и последующих членов. Но во многих случаях нужно узнать только один определенный член последовательности, а остальные не нужны. В этих случаях удобнее иметь явную формулу для -го члена последовательности. И когда ставится задача нахождения формулы общего члена последовательности, заданной рекуррентным соотношением, употребляется термин рекуррентное уравнение. Явно заданная последовательность, удовлетворяющая рекуррентному уравнению, называется решением этого уравнения.

Для решения рекуррентных уравнений общих правил, вообще говоря, нет. Однако существует весьма часто встречающийся класс уравнений, решаемый единообразным методом. Это - рекуррентные уравнения вида

, (23.1)

где - некоторые числа. Такие уравнения называют линейными однородными рекуррентными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Ограничимся подробным изучением линейных рекуррентных уравнений второго порядка, так как все существенные черты данной теории могут быть показаны для этого случая.

Определение. Рекуррентные уравнения вида

(23.2)

где - некоторые числа, называют линейными однородными рекуррентными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пправило решения линейных рекуррентных соотношений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть дано рекуррентное соотношение (23.2):

Составим квадратное уравнение

, (23.3)

которое называется характеристическим для данного уравнения.

 

При решении квадратного уравнения могут получиться:

 

1. Два различных корня , , тогда общее решение уравнения (23.2) имеет вид

(23.4)

Задача 23.1. Найдите решение рекуррентного уравнения

,

, при

Решение. Для него характеристическое уравнение имеет вид

Корнями этого квадратного уравнения являются числа

, .

Поэтому общее решение нашего рекуррентного уравнения имеет вид

Подставим , отсюда и , откуда и .

Следовательно, .

2. Два корня совпадают , , тогда общее решение уравнения (23.2) имеет вид

(23.5)

Задача 23.2. Найдите решение рекуррентного уравнения

, ,

, при

Решение. Для него характеристическое уравнение имеет вид

Корнем этого квадратного уравнения является число 2.

Итак, общее решение нашего рекуррентного соотношения имеет вид .

Подставим , отсюда и , откуда .

Следовательно, .

3. Оба корня характеристического уравнения комплексные числа: , , тогда общее решение уравнения (23.2) имеет вид

, (23.6)

где , , .

Задача 23.3. Найдите решение рекуррентного уравнения

, ,

, при

Решение. Для него характеристическое уравнение имеет вид

Корни этого квадратного уравнения: , .

Таким образом. , , .

Наконец, и , поэтому

Итак, общее решение нашего рекуррентного соотношения имеет вид .

Подставим , отсюда и , откуда .

Следовательно, .

Примеры разобраны для вас, их рассказывать на надо.

Производящие функции.

Пусть - числовая последовательность,

Определение. , где числа называются коэффициентами, а символ называется переменной,называется формальным степенным рядом.

Обозначение: (24.1)

Любой многочлен можно считать записью формального степенного ряда, в котором все коэффициенты, начиная с какого-то номера, равны нулю.

Определение. Формальный степенной ряд называется производящей функцией последовательности .

 

Название формальный ряд для данной последовательности означает, что (24.1) мы трактуем только как удобную запись нашей последовательности - в данном случае несущественно, для каких (действительных или комплексных) значений переменной он сходится. Поэтому мы никогда не будем вычислять значение такого ряда для конкретного значения переменной , мы будем только выполнять некоторые операции на таких рядах, а затем определять коэффициенты при отдельных степенях переменной .

 

Для произвольных рядов ,

мы определим операцию сложения:

(24.2)

операцию умножения на число с (действительное или комплексное):

(24.3)

и произведение

(24.4)

где

(24.5)

Из математического анализа известно, что если ряд (24.1) сходится в некоторой окрестности нуля, то его сумма является аналитической функцией в этой окрестности и

(24.6)

обозначает значение n -ой производной функции для . Ряд (24.1) не что иное, как знакомый из курса математического анализа ряд Маклорена функции .

Более того, когда , являются аналитическими функциями в окрестности нуля, то формулы (24.2)-(24.4) будут справедливы, если , трактовать как значения функций в точке , а ряды понимать в обычном смысле, т.е. так, как в математическом анализе. Это сохраняющее операции взаимно однозначное соответствие между рядами, сходящимися в окрестности нуля, и функциями, аналитическими в окрестности нуля, позволяет отождествить формальный ряд (24.1) с определенной через него аналитической функцией в случае рядов, сходящихся в окрестности нуля (несмотря на то, что ряды мы будем трактовать всегда как формальные ряды, то есть только как формальную запись их коэффициентов).

Таким образом, будем писать, например,

, (24.7)

, (24.8)

 

, (24.9)

, (24.10)

 

и т.д.

Если вспомнить формулу бинома Ньютона

И положить в этом равенстве , то получим

Мы видим, что является производящей функцией для чисел , . С помощью этой производящей функции можно сравнительно просто доказать многие свойства чисел .

Теория графов. Основные понятия теории графов.

Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.

В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар (v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w).

Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф. G = (V, X)

Псевдограф без петель называется мультиграфом.

Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.

Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра – линиями, соединяющими соответствующие вершины.

Определение. Если х = { v, w } –