Линейные операторы и матрицы. Собственные векторы линейных операторов.

Одно из фундаментальных понятий матричной алгебры — понятие линейного оператора.

Рассмотрим два линейных пространства: размерности n и размерности m.

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор у пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) Ã(х), действующий из в , изаписывают y= Ã(х).

Определение.Оператор (преобразование) называют линейным, если для любых векторов х и y пространства и любого числа ʎ выполняются соотношения:

1. Ã(x+y) = Ã(x) + Ã(y) -свойство адаптивности оператора;

2. Ã(ʎх) = ʎÃ(х) — свойство однородности оператора.

Вектор y= Ã(х) называется образом вектора х, а сам вектор х - прообразом вектора y.

Если пространства и совпадают, то оператор А отображает пространство в себя.

Выберем в пространстве базис . Запишем разложение произвольного вектора х по данному базису:

В силу линейности оператора Ã получаем

Поскольку (l= 1,2,...,n) — также вектор из , то его можно разложить по базису .

Пусть (i = 1,2,…,n) (6.1)

Тогда

С другой стороны вектор y=Ã(х), имеющий в том же базисе координаты можно записать так:

Ввиду единственности разложения вектора по базису равны правые части равенства, откуда:

Определение. Матрица (i,j =1,2,...,n) называется матрицей оператора Ã в базисе ,а ранг r матрицы А – рангом оператора Ã.

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе.

Справедливо и обратное: всякой матрице т-ого порядка соответствует линейный оператор т-мерного пространства.

Связь между вектором х и его образом y=Ã(х) можно выразить в матричной форме уравнением

Y=AX,

где А — матрица линейного оператора, , -матрицы-столбцы из координат векторов х и y.

Определение: Вектор ,называется собственным вектором линейного оператора Ā, если найдется такое число ʎ,что Ã(х)= ʎх (6.2)

Число ʎ называется собственным значением оператора Ã (матрицы А),соответствующим вектору х.

Из определения следует, что собственный вектор под действием линейного оператора А переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на некоторое число. В то же время несобственные векторы преобразуются более сложным образом. В связи с этим понятие собственного вектора является очень полезным и удобным при изучении многих вопросов матричной алгебры и ее приложений.

Равенство (6.2) можно записать в матричной форме:

АХ= ʎХ (6.3)

где Х — матрица-столбец из координат вектора х. Или в развернутом виде

Квадратичные формы.

 

Определение. О днородный многочлен второй степени относительно переменных х₁ и х₂

Ф(х₁, х₂) = а ₁₁ ,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х₁ и х₂.

Определение. Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁, х₂ и х₃

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁, х₂ и х₃.

 

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

 

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х₁, х₂.

Если задана квадратичная форма Ф(х₁, х₂) = а ₁₁ , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х₁ и х₂.

 

 

8. Кривые второго порядка на плоскости (окружность, эллипс, гипербола, парабола).

 

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

где - вещественные числа, и хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение:

(8.1.)

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Пусть и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 8.2).

Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна , а расстояние между фокусами - . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение: (8.2)

где

Рис.8.2.

Уравнение (8.2) называется каноническим уравнением эллипса.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Для получения уравнения гиперболы выберем систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось направим вдоль этого отрезка, а ось ординат - перпендикулярно к нему (рис. 8.3).

Рис. 8.3.

Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение: (8.3)

где

Уравнение (8.3) называется каноническим уравнением гиперболы.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой, параболы.

Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса опустим перпендикуляр на директрису . Начало координат расположим на середине отрезка , ось направим вдоль отрезка так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось проведем перпендикулярно оси (рис. 8.4).

Рис. 8.4.

Пусть расстояние между фокусом и директрисой параболы равно . Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

(8.4)

Уравнение (8.4) называется каноническим уравнением параболы.