Случайные величины и способы их описания.

Определение. Случайной величиной называется величина, которая принимает в результате опыта или эксперимента одно из множества возможных значений. Для того, чтобы охарактеризовать случайную величину, необходимо знать те значения, которые она может принимать. Также надо знать и как часто, т.е. с какой вероятностью, она принимает эти значения.

Разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых значений может быть конечным или бесконечным, значения могут быть расположены на числовой оси дискретно или заполнять некоторые интервалы целиком. В зависимости от этого свойства случайные величины принято разделять на дискретные и непрерывные.

Определение. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать конечное или счетное множество различных значений. (Напомним, что счетным называется множество, все элементы которого можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с числами натурального ряда, т.е. перенумеровать.)

Рассмотрим сначала случайные величины, которые могут принимать лишь конечное число различных значений.

Пусть возможными исходами некоторого эксперимента являются события , , … , которые образуют полную группу попарно несовместных событий. Пусть (т.е. вероятность появления события А_i в результате эксперимента равна ). Заметим, что .

Введем некоторую числовую функцию x, которая ставит в соответствие событиям числа: , , …, . Таким образом, мы определили значения, которые может принимать случайная величина x: если наступило событие А_i, то случайная величина принимает значение x_i .

Этот факт может быть записан следующим образом: (вероятность того, что случайная величина принимает значение x_i,равна ).

Теперь вместо того, чтобы говорить «события , , … образуют полную группу попарно несовместных событий и происходят в результате эксперимента с вероятностями », можем сказать «задана случайная величина x, которая принимает значения , , … с вероятностями , , … ».

Набор , , … называется распределением вероятностей случайной величины x.

Случайную величину x удобно задавать в виде таблицы:

x	x1	х2	…	х n
p	p1	p 2	…	pn

 

Эта таблица называется законом распределения величины x.

Если случайная величина x может принимать несчетное множество значений, которые сплошь заполняют некоторые промежутки числовой оси, то такую величину невозможно описать таблицей. Ее принято задавать с помощью специальной функции – функции распределения, которая дает полную информацию о поведении случайной величины.

Функцией распределения вероятностей случайной величины x называется функция F, определенная равенством

 

.

Функция распределения F случайной величины x в точке x равна вероятности того, что x принимает значение, меньшее x. определена для любых случайных величин при , возрастает с ростом x и полностью описывает случайную величину.

Очевидно, что для дискретной случайной величиныx, которая принимает значения , , … с вероятностями , , … , функция распределения определяется формулой . Эта функция является разрывной и возрастает скачками при тех значениях x, которые являются возможными значениями величиныx.

Определение. Если для случайной величины x существует неотрицательная функция , удовлетворяющая при любых x равенству

,

то x называется непрерывной случайной величиной, а функция называется плотностью распределения вероятностей.