Линейная алгебра и математический анализ

 

 

Учебно-методический комплекс

 

Авторы-составители

д.т.н., профессор А.Н. Данчул,

д.т.н., профессор В.М. Градов

к.ф.-м.н., доцент Т.М. Поленова

 

Москва – 2011.

Содержание

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.. 3

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.. 4

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ.. 5

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.. 17

Таблица вариантов. 18

Контрольное задание №1. 19

Контрольное задание №2. 24

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.. 28

ПРИЛОЖЕНИЕ. ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.. 32

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

 

Программа части 1 Линейная алгебра и математический анализ учебной дисциплины «Математика» разработана в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта профессионального высшего образования для обучения студентов специальности «Управления персоналом».

Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к творческому восприятию последующих общепрофессиональных и специальных дисциплин. Студенты должны научиться владеть современным математизированным профессиональным языком, принятым в мировом научном сообществе, знать основные возможности и ограничения применения математического аппарата в профессиональной деятельности, а также иметь базовые навыки использования математического инструментария.

Часть 1 Линейная алгебра и математический анализ дисциплины «Математика» направлена на достижение вышеуказанных целей в области линейной алгебры и математического анализа, создание фундамента для изучения последующих частей дисциплины (теория вероятностей и математическая статистика).

Часть 1 Линейная алгебра и математический анализ дисциплины «Математика» читается в I семестре, рассчитана на 136 часов занятий, из которых 34 часа – лекции, 34 часов – практические занятия и 68 часов – самостоятельные занятия. Она не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы полной средней школы.

По части 1 Линейная алгебра и математический анализ дисциплины «Математика» предусмотрены 2 контрольных задания. Формой итогового контроля работы студентов является экзамен. В экзаменационный билет входят два теоретических вопроса и одна задача из числа включенных в планы практических занятий или контрольные задания.

Требования к уровню освоения дисциплины включают знание определений рассматриваемых понятий, понимание формулировок и идей доказательств используемых теорем, знание доказательств основных теорем, излагаемых на лекциях, уверенное владение методами решения задач, содержащихся в планах практических занятий.

 

 

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

 

№	Тема занятий	Всего часов	В том числе:
Лекции	Практич. занятия	Самост. работа
1.	Матрицы и определители
2.	Системы линейных алгебраических уравнений		(есть 2)
3.	Линейные пространства и преобразования		(есть 2)
4.	Комплексные числа. Собственные значения и векторы.
5.	Элементы аналитической геометрии
6.	Функции одной переменной. Числовые последовательности. Пределы последователь­ностей и функций		(есть 4)
7.	Дифференциальное исчисление
	Неопределенный и определенный интегралы
	ИТОГО:

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ

 

Тема 1. Матрицы и определители

 

Понятие матрицы. Определение и виды прямоугольных матриц. Векторы. Операции над матрицами. Определитель квадратной матрицы. Минор. Алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке или столбцу. Свойства определителей. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Обратная матрица. Ранг матрицы.

 

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений

 

Системы линейных алгебраических уравнений. Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде. Формулы Крамера. Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости системы. Решение системы линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений и вычисление обратной матрицы методом Гаусса.. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений; свободные неизвестные, базисные решения.

 

Тема 3. Линейные пространства и преобразования

 

Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве. Определение и примеры линейного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Координаты. Размерность. Преобразование координат при переходе к новому базису. Скалярное произведение. Ортонормированный базис. Евклидовы пространства.

Линейные преобразования (операторы). Способы нахождения матрицы линейного преобразования.

 

Тема 4. Комплексные числа. Собственные значения и векторы

 

Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами и их свойства. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Собственные значения и собственные векторы матриц, их нахождение. Свойства собственных векторов.

 

Тема 5. Элементы аналитической геометрии

 

Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

.

Тема 6. Числовые последовательности. Функции одной переменной. Пределы последователь­ностей и функций

Понятие числовой последовательности. Предел последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей. Признаки существования предела последовательности.

Понятие действительной функции действительной переменной. Способы задания функции. График функции. Основные элементарные функции. Сложные и взаимно обратные функции. Неявные функции. Алгебраические и трансцендентные функции. Основные свойства функций.

Предел функции в бесконечности и в точке. Односторонние пределы. Признаки существования предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Два замечательных предела. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке и на от­резке.

Тема 7. Дифференциальное исчисление

Производная функции и дифференциал. Геометрический и физический смысл производной; геометрический смысл дифференциала. Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа. Правило Лопиталя. Точки экстремума, выпуклость и точки перегиба функции. Асимптоты. Общая схема исследования функций. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

 

Тема 8. Неопределенный и определенный интегралы

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей. Понятие и геометрическая интерпретация определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов
ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

 

Тема 1. Матрицы и определители

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Даны матрицы A и B.

а)

Указать, какие из нижеприведенных операций выполнимы, и выполнить их.

а) A + B; б ) A^T + B; в) A + B ^T; г) A^T + B ^T.

д) AB; е) A^TB; ж) AB ^T; з) BA^T.

На дом

а)

3. Решить задачи [Л1[1], с.60, 64]:

1.17, 1.20, 1.23; 1.40, 1.43

На дом

1.18, 1.21, 1.25; 1.42, 1.45

4. Найти определитель матрицы

на дом

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с.65, 68]:

1.51; 1.62 на дом 1.52; 1.65.

3. Найти матрицу, обратную матрице С, если она существует (см. п. 4 занятия 1).

на дом

4. Найти ранг матриц

5. Решить задачи [Л1, с.70-71]:

1.71; 1.73; 1.79 на дом 1.74; 1.75; 1.82.