Алгебраические системы. Алгебраические операции.

Алгебраическая

Для алгебраической системы объекты наделяются различными математическими структурами путем определения 1 или нескольких операций, для которых объект V становится алгеброй.

Алгебра – либо общий предмет, либо алгебра относящаяся к теории алгебраических операций, либо некая математическая модель.

В простом случае задается бинарная операция:

и предполагается, что в множестве V любой выделить такое подмножество W, что любой элемент из множества V можно получить в рез. применении операции R к элементам подмножества W.

В этом случае подмножество W называется множество производящих элементов или алфавитом объекта. В этом случае элементы подмножества W называются символами, а элементы V – словами.

Алфавит временных объектов и алфавит алгебраического объекта, если алфавиты конечны, являются 1ми и теми же множествами.

Особый интерес представляют объекты, у которых элементы входных и выходных параметров определяются на 1 и тех же множествах.

Пусть существует множество I, разделим его на

Тогда, множество Х, определяется следующим образом:

будем называть входящим объектом, а множество .

Тогда система носит название система вход/выход или система черного ящика.

Многие понятия ТС можно определить исходя основному определению системы, но для получения существующих результатов необходимо введение дополнительных структур.

Стахостические системы без последствий.

Пусть - пространство элементов случайных событий, и для каждого случайного события определена вероятность , тогда:

= - Оператор переходов.

- Оператор выходов.

Если зафиксировать , то система будет называться системой со случайными начальными состояниями.

Если зафиксировать , то будет получена система со случайными переходами.

Если зафиксировать , то будет получена система со случайными выходами.

 

 

Динамические системы.

Данное описание удобно тем, что используется богатый математический аппарат. В данном случае все переменные называются переменными состояния, а пространство, где меняется переменная, называется пространством состояний.

Rⁿ – n-мерное Эвклидово пространство

x – переменная состояния и определенная на Rⁿ

U – переменная состояния и определенная на R^m

y – переменная состояния и определенная на R^r

Условия существования единственного решения выполняется в том случае, если переменная управления U(t) принадлежит одному из следующих классов функций:

постоянная, кусочно-постоянная, кусочно-непрерывная, кусочно-гладка функция.

Частными случаями динамической системы являются:

линейные системы

x’=Ax+Bu y =Cx

билинейные системы

Y(t)=Cx(t)

линейно-аналитическая система:

x’(t)=f(x(t))+U(t)g(x(t)) y(t)=Cx(t)

– это для перехода от векторной формы к матричным преобразованиям. – матрица Якоби.

Минусом динамических систем является отсутствие информации о топологии и структуре системы/модели.

 

Динамические системы можно представлять нелинейными ДУ:

i=1,n

x – внутренняя переменная системы

f – внешнее воздействие на систему

– смотри нормальную форму Коши

 

21. Графы. Основные определения.

Графом G называется совокупность двух множеств X(вершин) и U (дуг), между элементами которых определено отношение инцидентности (связности или соседства), причем каждый элемент u U, инцидентен ровно двум элементам x₁,x₂ X, необязательно различным, которые называются смежными. Элементы множества X называются вершинами графа G, элементы множества U — его ребрами.

Дуга U_j исходя из x_i и заходит в x_j. Такая дуга становится инцидентной вершинам x_i и x_j.

Если взять две вершины , и x<y, то вершина Х предшествует вершине Y, следовательно y следует за x.

Если записано x≤y следовательно x=y или из вершины x в y существует путь.

Дуги называются смежными, если они различны, но имеют 1 общую вершину. Вершины смежные, если они различны и существует дуга из одной вершины в другую.

Некая вершина , которая следует за всеми вершинами подмножества Y множества X называется мажорантой (стоком). Может существовать несколько мажорант.

Вершина , которая предшествует всем вершинам подмножества Y множества X называется минорантой (истоком). Может существовать несколько минорант.