Математическое описание. Уравнения статики и динамики. Линеаризация.

Любой процесс или объект можно описать дифф или разностными уравнениями. Ур-е динамики описывает процессы в системе при произвольных вх воздействиях в течение времени. Ур-е статики описывает процессы в системе при постоянных вх воздействиях в установивш режиме. В основном системы описыв нелинейн дифф ур-ями, что затрудняет исследование системы и объекта.

Замена нелинейного ур-я линейным нзв линеаризацией.

Общий вид линейной системы автоматического управления

В реальных условиях большинство элементов автоматической системы являются не линейными.

 

 

5 Математическое описание. Преобразование Лапласа. Передаточная функция.

Анализ и синтез САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.

Имеется функция вещественной переменной f(t), ей можно поставить в соответствие F(p), где f(t) – оригинал, F(p) – изображение.

-интеграл Лапласа

– комплексная переменная;

Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами: операциям дифференцирования и интегрирования в приведении вещественной переменной соответствуют эквивалентные алгебраические операции умножения и деления с использованием комплексной переменной.

Применение преобразования Лапласа позволяет перейти от исходных дифференциальных уравнений к эквивалентным алгебраическим уравнениям в представительстве комплексной переменной.

Передаточной функция звена или системы – отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

– передаточная функция.

Математическое описание. Частотные характеристики.(АФЧХ, ЛАХ и ЛФХ)

Если на вход звена (системы) подать гармоническое воздействие , то после окончания переходных процессов на выходе устанавливаются колебания той же частоты, но иной амплитуды и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний.

– амплитудно-фазовая характеристика есть отношение выходной величины к входной величине выраженной в комплексной форме.

– АЧХ

– функция частоты – ФЧХ

АФХ может быть получена из выражения передаточной функции W(p) заменой комплексной переменной р на мнимую переменную jw:

АФХ строится на комплексной плоскости в координатах вещественная составляющая по оси х; мнимая составляющая по оси у, при изменении частоты от 0 до ∞.

 

Математическое описание. Временные характеристики.

Временная характеристика звена системы – закон изменения выходной величины в функции времени при изменении входной величины по определенному закону и при условии, что до приложения внешнего воздействия звено находилось в покое. Зависит от характера звена.

Ступенчатое воздействие при t=0,входная величина X

 

 

Линейное воздействие с постоянной скоростью

 

Переходная функция звена – реакция звена на единичное ступенчатое воздействие.

Y(p)=W(p)*X(p); H(p)=>W(p)/p; L{1(t)}=1/p; h(t)=L^-1[W(p)/p]

Импульсная переходная или весовая функция – реакция звена на импульсное воздействие в виде δU

Y(p)=W(p)*X(p); L[δ(t)]=1; K(p)=W(p)*1; k(t)=L^-1[W(p)]; W(p)=pH(p)=k(p); k(t)=dh/dt

Достоинством временных характеристик является то, что они могут быть получены экспериментально.

Элементарные типовые звенья. Интегрирующее звено.

Так называют звено с передаточной функцией W(s) = к/s. Его частотные и временные функции имеют следующий вид:

АФЧХ:

ЛАХ, ЛФХ:

 

Переходная характеристика:

k-коэфф усиления

Элементарные типовые звенья. Апериодическое звено.

Так называют звено с передаточной функцией W(s) = k/(Ts + 1). Его частотные и временные функции имеют следующий вид:

АФЧХ:

ЛАХ, ЛФХ:

Переходная характеристика:

 

 

Элементарные типовые звенья. Колебательное звено.

Так называют звено с передаточной функцией:

АФЧХ:

ЛАХ,ЛФХ:

Переходная характеристика:

 

Элементарные типовые звенья. Дифференцирующее звено I-го порядка.

Передаточная функция:

W(p)=k(Tp+1)

Элементарные типовые звенья. Дифференцирующее звено II-го порядка.

Передаточная функция:

W(p)=k(T²p²+2ETp+1)