Устойчивость нсау. Понятие устойчивости по ляпунову.

1)Если все вещественные части корней характеристического уравнения линеаризованной системы отрицательны, то линеаризованная система устойчива. Её невозмущенные движения асимптотически устойчивы и никакие добавки в виде членов с различными нелинейностями не смогут сделать систему неустойчивой.

2)Если по крайней мере один корень линеаризованной системы содержит положительную вещественную часть, то система неустойчива.

3)Если вещественные части корней характеристического уравнения линеаризованной системы равны 0, то свойство устойчивости линеаризованной системы будет неопределенным (система на границе устойчивости).

Импульсные САУ. Виды квантования.

Определение: Импульсные системы – это такие САУ, в которых имеются сигналы квантованные по времени. Импульсную САУ можно в общем случае представить блок-схемой: εyx

ИЭ – импульсный элемент;

НЧ – непрерывная часть.

Возможны и более сложные импульсные САУ с несколькими ИЭ, однако в лекциях мы рассмотрим лишь САУ с одним ИЭ. Определение: Квантование, осуществляемое ИЭ в виде преобразовния непрерывного сигнала в последовательность импульсов, называется импульсной модуляцией.

Существует три вида импульсной модуляции:

1. амплитудно-импульсная (АИМ);

2. широтно-импульсная (ШИМ);

3. время-импульсная (ВИМ);

3.1. фазо-импульсная (ФИМ);

3.2. частотно-импульсная (ЧИМ).

Сущность каждого вида модуляции поясняется на рис

Входной сигнал (его величина) называется моделирующим сигналом ИЭ. Модулируемыми параметрами выходного сигнала ИЭ могут служить высота (амплитуда), ширина и период повторения импульса.

38 Z-преобразование или дискретное преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа и z-преобразование вычислить z-образн. и z-предаточную ф-цию, которая аналогична комплексной ф-ции W(jω).

на выходе

 

Алгоритм перехода

Для того чтобы выбрать время T, нужно применить теорему Котельникова.

Частота дискретизации непрерывного сигнала должна не менее чем в 2 раза превышать макс. частоту, содержащуюся в спектре исходного сигнала.

Выбор частоты дискретизации:

1. Исходя из max частоты пропускания самого высокочастотного и звеньев.

Сложность передат. ф-ции напрямую осу

Передаточные функции разомкнутой и замкнутой импульсной САУ.

Характеристические уравнения систем

Типовая структура замкнутой САУ, передаточная функция и характеристическое уравнение разомкнутой системы.

– передаточная функция разомкнутой системы.

Для линейных систем применим принцип суперпозиции воздействий (независимых воздействий).

- Передаточная функция замкнутой системы относительно регулирующей величины по задающему воздействию.

– передаточная функция замкнутой системы относительно задающей величины по возмущающему воздействию.

– передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки регулирования, по задающему воздействию.

– передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки регулирования, по возмущающему воздействию.

– передаточная функция разомкнутой системы

– Характеристическое уравнение разомкнутой системы получается приравниванием к нулю знаменателя передаточной функции разомкнутой системы.

Для нахождения характеристического уравнения замкнутой системы необходимо также приравнять к нулю знаменатель передаточной функции замкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы может быть получено приравниванием к 0 суммы числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы.

Устойчивость ИСАУ.

Если условия (4) для импульсных САУ не выполняются, то она, как уже было сказано, должна исследоваться либо по дискретным передаточным функциям, либо по частотным характеристикам. Отметим, что исследование устойчивости импульсных САУ осуществляется с помощью известных критериев Рауса, Гурвица, Найквиста, Михайлова модифицированных с учетом особенности работы импульсных систем.

Допустим, имеем импульсную САУ вида

Импульсная передаточная функция разомкнутой системы

По правилам преобразования структур, передаточная функция замкнутой системы

Рассмотрим характеристическое уравнение импульсной системы

Так как

то характеристическое уравнение (3) имеет бесчисленное множество корней.

Следовательно, передаточная функция является также периодической функцией вдоль мнимой оси (оси частот), и поэтому при изучении полюсов этой передаточной функции в комплексной плоскости достаточно рассмотреть их в полосе от −π до +π (рис.191).

Чтобы импульсная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы при изменении частоты от - π до +π лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости (рис.191).

 

Если перейти от комплексной плоскости q к плоскости Z=e^q, то интересующая нас полоса от −π до отображается в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, т.к. при (мнимая ось) модуль (рис.192).

Чтобы импульсная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы лежали внутри окружности единичного радиуса в комплексной плоскости Z(рис.192).

Чтобы применить алгебраические критерии устойчивости к импульсной системе, производят замену переменной, вводя новую переменную r

Область устойчивости импульсной системы в плоскости новой переменной r соответствует вся левая полуплоскость, а границей устойчивости является вся мнимая ось.

 

В результате подстановки (5) в характеристическое уравнение импульсной системы (3) получаем условия устойчивости, аналогичные непрерывным системам. Следовательно можно применять и любые критерии устойчивости для непрерывных систем.

Рассмотрим примеры:

1. Имеем характеристическое уравнение первого порядка

Подставляя (5) в (1п), получим

Для устойчивости рассматриваемой системы, из свойств алгебраических критериев устойчивости, можно записать:

2. Имеем характеристическое уравнение второго порядка

Подставляем (4п) в соотношение (5)

После преобразования получим

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты (5п) были положительны, т.е.

 

Аналогично получают условия устойчивости для систем более высокого порядка. Однако для порядка выше 3-го значительно возрастают вычислительные трудности.