Тема 8. Неопределенный и определенный интегралы

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования

а) ; б) ; в) .

Решить задачи [Л1, с.548 – 549]:

10.34 на дом 10.25; 10.32, 10.36.

3. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной

а) ; б) ; в) .

Решить задачи [Л1, с. 549, 554 – 556]:

10.41(в); 10.48 на дом 10.43; 10.46; 10.55; 10.76; 10.80; 10.90.

4. Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям.

Решить задачи [Л1, с. 556, 560]:

10.95(а); 10.97; 10.100; 10.104

на дом 10.107; 10.118, 10.125, 10.126.

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Найти неопределенные интегралы от рациональных дробей

Решить задачи [Л1, с.565]:

10.127; 10.128; на дом 10.137; 10.140, 10.144, 10.150.

3. Вычислить определенные интегралы

Решить задачи [Л1, с.621]:

11.32, 11.37, 11.50 на дом 11.40, 11.43

4. Найти площади фигур, ограниченных следующими кривыми

а) ; б)
на дом а) ; б) .

Решить задачи [Л1, с.630]:

11.65 на дом 11.64; 11.72; 11.73; 11.84.

5. Вычислить несобственные интегралы

а) ; б) .

Решить задачи [Л1, с.635 - 636]:

11.115; 11.118; 11.123 на дом 11.124; 11.128; 11.129; 11.133.

ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и Практикум (части I и II) / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Высшее образование, 2008.

2. Учебно-методическое пособие по математике. Математическая логика. Дискретная математика. Линейная алгебра / Под ред. А.Н. Данчула. М.: Изд-во РАГС, 2004.

3. Грес П.В. Математика для гуманитариев. М.: Юрайт, 2000.

4. Эдельман С.Л. Математическая логика. М.: Высшая школа, 1975.

5. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel: Практикум/.– СПб.: Питер, 2003.

6. Сборник задач по математике. /А.Н.Данчул (отв.ред) / М.: Изд-во РАГС, 2005.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Выполняются два контрольных задания по 6 задач в каждом. По выданному преподавателем номеру варианта задания с помощью таблицы вариантов, приведенной на следующей странице, определяются номера варианты входящих в задание задач. Образец оформления титульного листа задания приведен в Приложении.

Сроки сдачи заданий:

· задание 1 – 10 неделя (до 8 ноября);

· задание 2 – 16 неделя (до 20 декабря).

Сроки зачета заданий (с учетом исправления ошибок):

· задание 1 – 11 неделя (до 15 ноября);

· задание 2 – 17 неделя (до 27 декабря).

Таблица вариантов

Задача
№ варианта задания	Номера вариантов задач
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.

Контрольное задание №1

Задача 1. Даны матрицы A и B. Найти матрицу

Вариант 1 Вариант 2

 

Вариант 3 Вариант 4

 

Вариант 5 Вариант 6

 

Вариант 7 Вариант 8

 

Вариант 9 Вариант 10

 

Задача 2. Найти матрицу, обратную матрице

 

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10

Задача 4. Найти определитель произведения двух матриц и .

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Задача 4. Найти ранг матрицы

 

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6

 

Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10

 

Задача 5. Записать систему уравнений в матричном виде и решить ее как матричное уравнение.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

Вариант 10

 

Задача 6. Решить систему уравнений методом Гаусса

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

Вариант 10

 

 

Контрольное задание №2

 

Задача 1. Представить вектор x в виде линейной комбинации векторов a₁, a₂, a₃, если система векторов a₁, a₂, a₃ линейно независима. В случае линейной зависимости векторов a₁, a₂, a₃ заменить один из них на вектор x так, чтобы полученная система стала линейно независимой.

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

 

Задача 2. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор x двухмерного линейного пространства в вектор y по следующему алгоритму:

Вариант 1.	Симметричное отображение относительно прямой x1 = 0,а затем поворот на 90° по часовой стрелке.
Вариант 2.	Симметричное отображение относительно прямой x2 = 0,а затем поворот на 90° против часовой стрелки.
Вариант 3.	Симметричное отображение относительно прямой x1 = 0,а затем симметричное отображение относительно прямой x2 = 0.
Вариант 4.	Симметричное отображение относительно прямой x2 = 0,а затем симметричное отображение относительно прямой x1 = 0.
Вариант 5.	Симметричное отображение относительно начала координат,а затем поворот на 90° против часовой стрелки.
Вариант 6.	Симметричное отображение относительно прямой x2 = 0,а затем симметричное отображение относительно начала координат.
Вариант 7.	Симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямой x1 = 0.
Вариант 8.	Симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямой x2 = 0.
Вариант 9.	Поворот по часовой стрелке на 90°, а затем симметричное отображение относительно прямой x2 = 0.
Вариант 10.	Симметричное отображение относительно прямой x1 = 0,а затем поворот на 90° против часовой стрелки.

Задача 3. Даны вершины треугольника . Составить: а) уравнения медианы и высоты треугольника , проведенные из вершины ; б) уравнение биссектрисы внутреннего угла .

	A	B	C
Вариант 1	(3,1)	(-13,-11)	(-6,-3)
Вариант 2	(26,-5)	(2,2)	(-2,-1)
Вариант 3	(-2,3)	(-18,-9)	(-11,15)
Вариант 4	(6,8)	(-1,-2)	(1,-7)
Вариант 5	(5,4)	(3,-9)	(-12,8)
Вариант 6	(14,-2)	(11,8)	(15,-6)
Вариант 7	(-21,4)	(4,10)	(-6,7)
Вариант 8	(-3,-4)	(8,-7)	(16,12)
Вариант 9	(22,8)	(4,14)	(-5,9)
Вариант 10	(-8,-7)	(6,16)	(-4,-14)

 

Задача 4. Вычислить пределы функций

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

 

Задача 5. Исследовать функцию и построить график.

 

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

Задача 6. Найти неопределенный интеграл.

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

 

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Матрицы и основные операции над ними.

2. Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.

3. Умножение матриц.

4. Определители матриц второго и третьего порядка.

5. Обратная матрица и ее нахождение.

6. Свойства определителей.

7. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Их использование при нахождении определителей.

8. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы.

9. Теорема Кронекера-Капелли совместимости системы линейных алгебраических уравнений.

10. Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде.

11. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

12. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.

13. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений; свободные неизвестные, базисные решения.

14. Линейное пространство.

15. Линейная зависимость и независимость векторов. Способы определения.

16. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства

17.. Преобразование координат при переходе к новому базису.

18. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами

19.. Ортонормированный базис. Евклидово пространство

20. Линейные преобразования. Свойства.

21. Нахождение матрицы линейного преобразования.

22..Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексных чисел.

23. Операции над комплексными числами.

24. Собственные значения и собственные векторы матриц, свойства собственных векторов.

25. Уравнения прямой в двухмерном пространстве

26. Условия параллельности и перпендикулярности

27. Уравнения прямой в трехмерном пространстве

28. Уравнения плоскости в трехмерном пространстве

29. Понятие действительной функции действительной переменной. Способы задания функции. График функции.

30. Основные элементарные функции. Сложная и взаимно обратные функции.

31. Основные свойства функций.

32. Понятие числовой последовательности и основные свойства сходящихся последовательностей.

33. Предел числовой последовательности. Признаки существования предела последовательности. Два замечательных предела.

34. Предел функции в бесконечности и в точке.

35. Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке.

36. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

37. Производная функции и дифференциал.

38. Производные и дифференциалы высших порядков.

39. Геометрический и физический смысл производной; геометрический смысл дифференциала.

40. Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций.

41. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.

42. Правило Лопиталя.

43. Точки экстремума. Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.

44. Выпуклость и точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условие перегиба функции.

45. Нахождение асимптот функции.

46. Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке.

47. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

48. Свойства неопределенного интеграла.

49. Интегрирование рациональных дробей.

50. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

51. Формула Ньютона-Лейбница.

52. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Признаки сходимости несобственных интегралов.

53. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.

54. Геометрические приложения определенного интеграла..

ПРИЛОЖЕНИЕ.
ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

 

Российская академия государственной службы при Президенте РФ

 

 

Задание N 1 по математике

 

Слушателя группы О-811

Иванова Петра Фомича

Вариант 15