Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Определение 9.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: А х = λ х, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число λ. Само число λ называется собственным числом матрицы А.

Подставив в формулы (9.3) x`_j = λx_j, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

.

Отсюда

. (9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ, называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

| A - λE | = 0, (9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ. Многочлен относительно λ | A - λE | называется характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Доказательство. (см. (9.4)), но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и | A-λE | не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. а_ij=a_ji), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов х₁, х₂, х₃, соответствующих собственным значениям λ₁, λ₂, λ₃ матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(9.7) Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

 

 

29ВОПРОСКвадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм.

Квадратичной формой /(хих2,...,х„) п действительных переменных х1,х2,...,х„ называется сумма вида

Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами. Будем рассматривать действительные квадратичные формы.

Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (11.1) соответствует единственная симметрическая матрица

 

(11.3)

И наоборот, всякой симметрической матрице (11.3) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма п переменных называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т. е. г = п, и вырожденной, если г < п.

Квадратичную форму (11.1) п переменных хх, х2,...,х„ можно записать в матричном вцце. Действительно, если X - матрица-столбец из переменных

- матрица, полученная транспонированием матрицы Т. е. матрица-строка из тех же переменных, то

(11.4)

Где А определяется формулой (11.3).

Ортогональное преобразование. Для того чтобы привести квадратич­ную форму f(x_l,x₂,x₃) к каноническому виду (10.4), необходимо выписать матрицу квадратичной формы

у которой A _ij = A_ji т. е. элементы, симметричные относительно главной диа­гонали, совпадают. Затем составляем и решаем характеристическое уравне­ние:

Так как матрица симметричная, то корни λ₁,λ₂,λ₃ характеристического уравнения являются действительные числа. Найденные собственные числа являются коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы в ба­зисе е'₁,е'₂, е'₃:

f(x'₁,x'₂, x'₃)= f₁x'²₁ + f₂x'²₂ + f₃x'²₃

Пусть найдены нормированные собственные векторы, соответствую­щие характеристическим числам γ ₁ γ ₂, γ₃ в ортонормированном базисе е₁ е₂, е₃:

е'₁ = q₁₁ е₁+ q₂₁ е₂ + q₃₁ е₃ ,

е'₂ = q₁₂ е₁+ q₂₂ е₂ + q₃₂ е₃ ,

е'₃ = q₁₃ е₁+ q₂₃ е₂ + q₃₃ е₃ ,

В свою очередь, векторы е'_ь е'₂, е'з образуют ортонормированный базис. Матрица

является матрицей перехода от базиса e₁, е₂, е₃ к базису е'₁,е'₂, е'₃

Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонор-мированному базису имеют вид:

Принято говорить, что квадратичная форма f(x_l,x₂,x₃) приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования В.

Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть дана квадра­тичная форма (Ю.З) и пусть все коэффициенты a_ij (при квадратах х_i²), i=1,2,3. равны нулю и в тоже время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя бы одно произведение, например 2a_l2x₁x₂, т. е.

f(x_l,x₂,x₃)= 2a_l2x₁x₂

Выполним преобразование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами:

x₁= x'₁ - x'₂

x₂= x'₁ + x'₂

x₃= x'₃

Тогда f(x_l,x₂,x₃)-2a_l2x₁x₂.= 2a₁₂(х'₁² - х'₂²)=2а₁₂х'₁² -2а₁₂х'₂², и так как, по предположению, а₁₁ = а₂₂ =0, то коэффициент при х'₁² отличен от

нуля.

Таким образом, всегда найдется такой базис, в котором в квадратичной форме хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля.

Действительная квадратичная форма /(х,, х2, называется положитель

Но-определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из л положительных квадратов: /(х],х2,...,х„)~у(у1,у2,...,у„), где

Ч>(.У1,У2,-,У„) = У?+у1+-+У*, (Н.9)

Т. е. если ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Систему значений хих2,...,хП назовем нулевой, если хх=х2=...= = х„ = О, и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля.

Т ео рем а 11.6. Действительная квадратичная форма /(*,, *2,..., х„) является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных

*1> Х2у..., Хп.

Пусть дана квадратичная форма /(хи х2,...,хп) с матрицей А = (ац). Главными минорами квадратичной формы/называются миноры

Т. е. миноры порядка Матрицы , расположенные в левом верхнем углу;

Последний из них совпадает с определителем матрицы.

Теорема 11.7. Квадратичная форма С действительной

Матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной, если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных; эту форму можно привести к виду

(11.10)

Теорема 11.8. Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного — отрицательны.

Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный ввд которых состоит из квадратов одного знака, называются полуопределенными.

Неопределенными называются квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.

 

30 ВОПРОС Применение квадратичных форм к исследованию кривых и поверхностей второго порядка.

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух разных неизвестных.