Свойства бесконечно малых последовательностей

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью…

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества , имеющая предел в этом множестве.

Свойства сходящихся последовательностей:

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.

Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью

Любую сходящуюся последовательность можно представить в виде , где — предел последовательности , а — некоторая бесконечно малая последовательность.

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные поверхности. Теорема Вейерштрасса.

Определение. Последовательность не убывает (не возрастает), если для .

Определение. Последовательность возрастает (убывает), если для .

Определение. Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.

Теорема. Если - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность ограниченна.

В силу ограниченности ,

1) Если последовательность не убывает, то

2) Если последовательность не возрастает, то

Рассмотрим первый случай.

По определению:

:

Т.к. не убывает, то при

при

при .

Второй случай рассматривается аналогично.

 

38ВОПРОСПонятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел.

Пусть задано числовое множество Если каждому числу поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (x),

Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f (x)). Множество, состоящее из всех элементов f (x), где называется областью значений функции и обозначается E (f (x)).

Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y – зависимой переменной или, собственно, функцией переменной x. Число соответствующее значению называют значением функции в точке и обозначают или

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция имеет предел в точке если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Односторонние пределы

Односторонние пределы

§ Пусть и Тогда система множеств

является фильтром и обозначается или Предел называется правосторонним пределом функции при стремящемся к

§ Пусть и Тогда система множеств

является фильтром и обозначается или Предел называется левосторонним пределом функции при стремящемся к

Пределы на бесконечности

§ Пусть и Тогда система множеств

называется пределом функции при стремящемся к бесконечности.

§ Пусть и Тогда система множеств

является фильтром и обозначается Предел называется пределом функции при стремящемся к минус-бесконечности.

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций: