Обратная матрица. Решение матричных уравнений.

 

Матрица называется обратной к квадратной матрице , если

где - единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица . Обратная матрица существует только в том случае, если , и ее элементы находятся по формуле

,

где - алгебраическое дополнение к элементу .

Внимание! Алгебраические дополнения вычисляются к элементам строки, а записываются в столбец.

Если , то матрица называется вырожденной, в противном случае невырожденной, т.е. обратная матрица существует только для невырожденных матриц.

Обозначается обратная матрица , т.е.

,

при этом ее определитель .

Для невырожденных матриц и выполнены соотношения

,

.

Введение обратной матрицы позволяет решать матричные уравнения. В конечном счете, матричные уравнения сводятся к двум простейшим уравнениям:

или .

Если матрица - квадратная, невырожденная, то эти уравнения имеют единственное решение, которое можно получить с помощью обратной матрицы. Так как при умножении матриц коммутативный закон не выполняется, указанные уравнения имеют различные решения.

При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу слева, а второе справа, т.е.

. (5)

. (6)

►Пример 5. Найти решение матричного уравнения , то есть определить матрицу , если ; .

Решение.

Решение в матричном виде определяется формулой (5), т.е. .

Для существования решения необходимо, чтобы матрица была невырожденной. Вычислим определитель матрицы

.

Следовательно, матрица невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения:

Составим обратную матрицу и найдем неизвестную матрицу .

, . ◄

При вычислениях множитель лучше оставлять перед матрицей и проводить умножение полученной матрицы на него на последнем этапе вычислений.

►Пример 6. Найти решение матричного уравнения , если .

Решение.

Формулой (5) воспользоваться нельзя, так как матрица не квадратная, следовательно, для нее не существует понятия обратной матрицы. Умножим обе части уравнения на транспонированную матрицу слева, получаем

.

Матрица - квадратная и, если ее определитель не равен нулю, то решение заданного уравнения имеет вид

..

Проведем вычисления.

.

Определитель полученной матрицы . Следовательно, обратная матрица к матрице существует, и можно найти матрицу .

,

,

.

Итак, неизвестная матрица . ◄

Упражнения.

1. Для заданных матриц найти обратную матрицу.

а) ; б) ;в) ;г) ;д) .

Ответы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

2. Найти неизвестную матрицу из уравнений.

 

а) ; б) ;в) ;

 

г) ; д) .

 

Ответы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

 

Ранг матрицы

 

Рангом матрицы (обозначение: ) называется порядок отличного от нуля минора этой матрицы при условии, что все ее миноры высших порядков равны нулю. Минор наивысшего порядка, отличный от нуля, называется базисным минором или просто б азисом. Матрица может иметь несколько различных базисов. Для определения базиса над матрицей производят элементарные преобразования, при которых ранг матрицы не изменяется.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

- транспонирование;

- удаление или добавление строки (столбца), состоящей из нулей;

- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

- перестановка строк (столбцов);

-прибавление к элементам какой-либо строки элементов другой строки, умноженных на постоянное число (тоже для столбцов).

Выполняя элементарные преобразования над матрицей, получаем другую матрицу, называемую эквивалентной. Переход от исходной матрицы к эквивалентной обычно обозначается символом или .

Используя перечисленные действия, матрицу можно преобразовать к треугольному виду, что позволяет легко определить ее ранг.

 

►Пример 7. Найти ранг матрицы .

Решение.

Минор , а все миноры четвертого порядка равны нулю, т.к. содержат нулевую строку. Следовательно, . ◄

При преобразовании матрицы мы проводили операции только со строками и по определенному алгоритму. Этот метод стандартный, но не является обязательным.

С рангом матрицы связано понятие линейно зависимых (независимых) векторов. Пусть в пространстве (множестве векторов с операциями сложения и умножения на число) имеется система из векторов

Линейной комбинацией векторов , называется выражение

,

где - числа.

Если , то, комбинация , называется тривиальной комбинацией. Она, очевидно, равна =(0,0,..,0), где - нулевой вектор.

Векторы называются линейно независимыми, если любая нетривиальная комбинация этих векторов не равна нулевому вектору.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

Если система из векторов линейно зависима, то один из них есть линейная комбинация остальных.

Ранг матрицы определяет наибольшее число линейно независимых строк (столбцов), рассматриваемых как векторы. Так в матрице из примера 7 три первых строки линейно независимы, а две другие являются их линейной комбинацией. Например, для четвертой строки справедливо:

.

Матрица имеет и ровно три линейно независимых столбца. Например, для пятого столбца имеем

.

Упражнения.

1. Найти ранг матриц:

а) ; б) ; в) ;

г) . Ответы: а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.

2. Для матрицы примера 7 получить линейную комбинацию первых трех строк, равную пятой строке. Ответ: .

 

Системы линейных уравнений. Основные понятия.

 

Системой линейных уравнений с неизвестными (линейной системой) называется система вида

(7)

где - числа. Числа называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами.

Линейная система называется однородно й, если все свободные члены равны нулю.

(8)

В противном случае линейная система называется неоднородной.

Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность чисел:

, (9)

при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: . Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.

Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы

– матрица коэффициентов при неизвестных,

 

- матрица-столбец свободных членов,

- матрица-столбец неизвестных.

Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения

,

а решение (9) в виде матрицы-столбца .

 

Матрица коэффициентов

называется основной матрицей системы. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов,

называется расширенной матрицей системы.

Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.