Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Пунтк 1. Понятие систем линейных уравнений и методы их решения.↑ ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида где aij и bi (i =1,…, m; b =1,…, n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i - обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами. Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn. Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации: 1. Система может иметь единственное решение. 2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком. 3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице. Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной. Существует три основных метода решения систем линейных уравнений: 1. Матричный метод. 2. Правило Крамера. 3. Метод Гаусса. Пунтк 2. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными: Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Найдем произведение т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде или короче A ∙ X=B. Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением. Пусть определитель матрицы отличен от нуля | A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и E ∙ X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B. Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B. Пример 10. Решить системы уравнений. 1. Найдем матрицу обратную матрице A. , Таким образом, x = 3, y = – 1. 2. Итак, х 1=4, х 2=3, х 3=5. 3. Решите матричное уравнение: XA+B=C, где Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения. Найдем матрицу А -1. Проверка: 4. Решите матричное уравнение AX+B=C, где Из уравнения получаем . Следовательно, Пунтк 3. Правило Крамера. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов Тогда можно доказать следующий результат. Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна. Пример 11. Решить систему уравнений 1. Итак, х =1, у =2, z =3. 2. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p: Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0. . Поэтому . 1. При 2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений. 3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yÎR. Пункт 4. Метод Гаусса. Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: . Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на – а 11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на – а 11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид: Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений: Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1. При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы: и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования: 1. перестановка строк или столбцов; 2. умножение строки на число, отличное от нуля; 3. прибавление к одной строке другие строки. Пример 12. Решить системы уравнений методом Гаусса. 1.
Вернувшись к системе уравнений, будем иметь 2. Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду. Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет. 3. Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x. Вернемся к системе уравнений. Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-16; просмотров: 143; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.202.60 (0.006 с.) |