Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Образец решения типовых задач.
1. Вычислить определитель: а) непосредственным разложением по строке; б) непосредственным разложением по столбцу; Решение. а) вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: = .
Тогда = = б) вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: = .
Тогда = = . Ответ: . 2. а) Найти матрицу , если: , . Решение: 1) Транспонируем матрицу : . 2) Вычисляем произведение матриц : . 3) Находим матрицу : . 4) Находим матрицу : . Ответ: . б) Найти собственные числа и векторы матрицы . Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы : , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: , определяемым методом Гаусса. Решение: 1) Составляем характеристическое уравнение матрицы : . Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):
, . Таким образом, собственными числами матрицы являются: и . 2) Находим собственные векторы матрицы , отвечающие различным собственным числам и . 2.1) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу : или , записываем его в виде системы линейных уравнений: и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Такая система имеет бесконечно много решений, которые записывают в виде общего решения. Для записи общего решения этой системы указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисными являются неизвестные, столбцы коэффициентов системы при которых образуют базисный минор матрицы этой системы. Такой минор образует, например, столбец коэффициентов при неизвестной : . Поэтому выбираем в качестве базисной – неизвестную , тогда свободными будут неизвестные и . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , где , , одновременно, и выражаем через них значение базисной неизвестной из уравнения системы: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу будет иметь вид: .
2.2) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу : или , записываем его в виде системы линейных уравнений: и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободной будет неизвестная . Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение: , где и выражаем через неё значения базисных неизвестных и из уравнений системы специального (трапециевидного) вида, начиная с последнего уравнения: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу , будет иметь вид: , . Ответ: , , , ; , , . 3. Дана система уравнений: . Требуется: а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса. Решение. А) Метод Крамера. 1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля: . 2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера: 3а) Вычисляем определители : , , . 4а) Находим решение: . 5а) Выполняем проверку: . Ответ: . Б) Метод обратной матрицы. 1б) Записываем систему уравнений в матричном виде: или 2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля: 3б) Так как , то матрица системы имеет обратную матрицу и единственное решение системы определяется формулой: или 4б) Находим обратную матрицу (методом присоединённой матрицы): .
Тогда . 5б) Находим решение: . 6б) Выполняем проверку: . Ответ: . В) Метод Гаусса. 1в) Записываем расширенную матрицу системы: . 2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса. В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами . Система уравнений, матрица которой является треугольной с элементами , имеет единственное решение, а система уравнений, матрица которой является трапециевидной с элементами , имеет бесконечно много решений.
. В результате элементарных преобразований матрица системы преобразована к специальному виду . Система уравнений, матрица которой , является треугольной с ненулевыми диагональными элементами , имеет всегда единственное решение, которое находим, выполняя обратный ход. Замечание. Если при выполнение преобразования расширенной матрицы в преобразованной матрице появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений. 3в) Выполняем обратный ход метода Гаусса. Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех неизвестных: . 4в) Выполняем проверку: . Ответ: .
4. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса: а) . Решение. 1а) Записываем расширенную матрицу системы: . 2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
. Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободными будут неизвестные и . 3а) Выполняем обратный ход метода Гаусса. Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: . Тогда общее решение системы запишется в виде: . 4а) Выполняем проверку: . Ответ: . б) . Решение. 1а) Записываем расширенную матрицу системы: . 2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
Замечание. В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами . Если, при выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений. Для выполнения условия может потребоваться перестановка местами столбцов матрицы системы. Если при выполнении преобразований прямого хода в матрице системы переставлялись местами столбцы коэффициентов при неизвестных, то в дальнейшем, при записи системы уравнений, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода, это следует учесть.
. Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы, с учётом перестановки местами столбцов, образуют первый и второй столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободными будут неизвестные и .
3б) Выполняем обратный ход метода Гаусса. Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: . Тогда общее решение системы запишется в виде: 4б) Выполняем проверку:
Ответ: . в) . Решение. 1в) Записываем расширенную матрицу системы: . 2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
. При выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице появилась строка , соответствующая уравнению , которому не удовлетворяет ни один набор значений неизвестных , что говорит о несовместности исходной системы уравнений. Ответ: Система несовместна. 5. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра). а) ; б) Решение. 1а) Записываем матрицу квадратичной формы: . 2а) Проверяем является ли матрица невырожденной. Для этого вычисляем её определитель и проверяем, равен ли он нулю: . Так как , то матрица - невырожденная и, следовательно, для исследования квадратичной формы на знакоопределённость можно применить критерий Сильвестра. 3а) Вычисляем угловые миноры матрицы и делаем вывод о знакоопределённости квадратичной формы: , , . Так как выполняется условие: , , , то по критерию Сильвестра квадратичная форма положительно определена. Ответ: Квадратичная форма положительно определена. 1б) Записываем матрицу квадратичной формы: . 2б) Вычисляем её определитель и проверяем, равен ли он нулю: . Так как , то матрица - невырожденная и, следовательно, для исследования квадратичной формы на знакоопределённость можно применить критерий Сильвестра. 3б) Вычисляем угловые миноры матрицы и делаем вывод о знакоопределённости квадратичной формы: , , . Так как два угловых минора нечётного порядка имеют разные знаки: , , то по критерию Сильвестра квадратичная форма знакопеременна. Ответ: Квадратичная форма знакопеременна.
6. Даны векторы : ; ; ; . Требуется: а) вычислить скалярное произведение векторов , если , ; б) вычислить векторное произведение векторов ; в) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. 1a). Находимвектор
= . 2а) Находимвектор
= . 3а) Вычисляем скалярное произведениевекторов : . б) Вычисляем векторное произведение векторов : = 1в) Покажем, что векторы образуют базис . Для этого составим определитель, столбцами которого являются координаты этих векторов и покажем, что он отличен от нуля. . Так как , то векторы образуют базис и, следовательно, вектор единственным образом можно разложить по векторам этого базиса. 2в) Записываем разложение вектора по векторам базиса : или . Коэффициенты разложения , , называют координатами вектора в базисе и записывают: . 3в) Записываем векторное уравнение относительно , , в виде эквивалентной ему системы линейных уравнений: , и находим единственное решение системы, например, по формулам Крамера: , где , , , . Таким образом: , , . Следовательно, разложение имеет вид: или кратко: . Ответ: . 7. Даны вершины треугольника : , , Требуется найти: а) длину стороны ; б) уравнение стороны ; в) уравнение медианы , проведённой из вершины ; г) уравнение высоты , проведённой из вершины ; д) длину высоты ; е) площадь треугольника . Сделать чертёж. Решение. Сделаем чертёж:
а) Длинустороны находим как длину вектора : , . б) Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой: . в) Уравнение медианы находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точки находим как координаты точки, делящей сторону пополам: ; . Тогда: . г) Уравнение высоты находим как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , который принимаем за нормальный вектор прямой . Тогда д) Длину высоты находим как расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением : . е) Площадь треугольника находим по формуле: . Откуда . Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; просмотров: 200; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.97.189 (0.161 с.) |