Поелементні операції з векторами

У попередніх розділах вектор використовувався як аргумент математичних функцій, результатом яких був вектор з елементами, рівними значенням функції від відповідних елементів початкового вектора. Таким чином, відбувалося поелементне обчислення функції, що викликалася. У цьому розділі детально описані можливості поелементної роботи з векторами, які знадобляться надалі, зокрема, для визначення власних функцій і побудови їх графіків.

Введіть два вектор-рядки:

Операція.* (не вставляєте пропуск між точкою і зірочкою!) призводить до поелементного множення векторів однакової довжини. В результаті виходить вектор з елементами, рівними твору відповідних елементів початкових векторів:

За допомогою.^ здійснюється поелементне піднесення до ступеня:

Показником cтепеня може бути вектор тієї ж довжини, що і що підноситься до степеня. При цьому кожен елемент першого вектора підноситься до ступеня, рівного відповідному елементу другого вектора:

Ділення відповідних елементів векторів однакової довжини виконується з використанням./

Зворотне поелементне ділення (ділення елементів другого вектора на відповідні елементи першого) здійснюється при допомозі.\

Отже, точка в MATLAB використовується не лише для введення десяткових дробів, але і для вказівки того, що ділення або множення масивів однакового розміру має бути виконане поелементно.

До поелементних відносяться і операції з вектором і числом. Складання вектора і числа не призводить до повідомлення про помилку. MATLAB додає число до кожного елементу вектора. Те ж саме справедливе і для віднімання:

Множити вектор на число можна як справа, так і ліворуч:

Ділити за допомогою знаку / можна вектор на число:

Спроба ділення числа на вектор-рядок призводить до повідомлення про помилку:

Якщо вимагається розділити число на кожен елемент вектора і записати результат в новий вектор, то слід використовувати операцію./.

Усі вищеописані операції застосовані як до вектор-рядків, так і до вектор-столбцам.

Розберемо, як правильно транспонувати і обчислювати зв'язані вектори в MATLAB. Для вектор-столбця, приміром з трьома комплексними елементами (зокрема і з речовими), зв'язаний до нього і^* визначається як вектор-рядок з його комплексно-зв'язаних елементів, а транспонований иТ - просто як вектор-рядок з його елементів, наприклад:

, ,

Аналогічно визначається сполучення (сопряжение) і транспонування для векторстроки, що призводить до вектор-столбцу. Ясно, що для векторів, що складаються тільки з дійсних чисел, операції сполучення (сопряжение) і транспонування співпадають.

Для знаходження зв'язаного вектора в MATLAB використовується апостроф, а для транспонування слід застосовувати точку з апострофом:

Операції.’ і ’ над векторами приведуть до однакових результатів.

Множення векторів

Вектор можна помножити на інший вектор скалярний (цей твір ще називають внутрішнім), векторний, або утворити так званий зовнішній твір. Результатом скалярного твору є число, векторного - вектор, а зовнішнього - матриця.

Скалярний добуток

Скалярний добуток векторів а і b довжини N, що складаються з дійсних чисел, визначається формулою

Отже, для обчислення скалярного добутку необхідно підсумувати компоненти вектора, отриманого в результаті поелементного множення a на b, тобто потрібно використовувати функцію sum і поелементне множення.

Нижче приведена необхідна послідовність команд:

Скалярний добуток векторів можна також вичислити, застосувавши функцію MATLAB dot

>> s = dot(a,b);

Знайдіть довжину (модуль) вектора а

Рішення:

Векторний добуток

Векторний добуток a × b визначено тілько для векторів із тривимірного простору, тобто, який складається із трьох елементів. Результатом є вектор із тривимірного простору. Для обчислення векторного добутку в MATLAB служит функция cross:

Обрахуємо a × b + b × a. Якщо отримаємо вектор, який складається з нулів, то ви все проробили вірно, так як для любих векторів виконується властивість a × b= − b × a.

Змішанний добуток векторів а, b, с визначається по формулі abc = а∙(b ×с). Модуль змішанного добутку векторов дорівнює об’єму паралелепипеда, побудованого на цих векторах.

Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

Правильність дій:

Зовнішній добуток

Вектор-стовпчик в MATLAB задається у вигляді двовимірного масиву размера N на один. Вектор-стовпчик b при транспонуванні переходить в вектор-рядок разміру один на М. Вектор-стовпчик і вектор-рядок є матриця, у якій один із размірів дорівнює одиниці. Фактично С = ab^T, де множення відбувається за правилом матричного добудку. Для обрахунку матричного добутку в MATLAB використовується оператор "зірочка":

MATLAB вивела в командне вікно матрицу в загальному виді — по рядкам. Використовуючи команду whos для перегляду змінних робочого середовіща або вікно Workspase. Числа, вектори і матриці зберігаються в двовимірних масивах числа - в масивах, размірністью один на один, вектор-стовчкики і вектор-рядки містят в масивах, у яких один із розмірів рівний одиниці, а для матриц виділяються двовимерні масиви. Тому операції і вбудовані функції в MATLAB використовуються у вигляді аргументів, видаючи результат у відповідному вигляді.

Двумерные массивы, матрицы

В этом разделе описан ввод матриц, математические операции с ними, поэлементные операции, вычисление функций от элементов матриц, чтение и запись с использованием текстового файла, простейшая визуализация матричных данных.