Координати і вектори у просторі

Координати і вектори у просторі

Вектори у просторі. Дії над векторами.

Розкладання вектора на складові

Відрізок, для якого зазначено, який з його кінців вважають початком, а який – кінцем, називається напрямленим відрізком, або вектором.

Довжиною (модулем) ненульового вектора називається відстань між його початком та кінцем.

 

 

Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать або на одній прямій, або на паралельних прямих.

 

Два однаково напрямлені колінеарних вектори

називаються співнапрямленими.

Вектори називаються рівними, якщо вони співнапрямлені і їх довжини рівні.

 

 

Сума двох векторів

Правило трикутника. Сумою двох векторів називається вектор, відкладений від початку першого вектора, кінець якого збігається з кінцем другого вектора.

 

Закони додавання векторів

· Переставний закон:

· Сполучний закон:

 

Правило паралелограма (на площині) Правило паралелепіпеда (у просторі)

 

 

Віднімання векторів

Різницею двох векторів називається такий вектор, сума якого з другим вектором дорівнює першому.

 

 

Протилежним даному називається вектор, протилежно напрямлений з даним вектором, який має ту саму довжину.

 

Віднімання двох векторів рівносильно додаванню до першого вектора, протилежного другому.

 

Множення вектора на число

Множення вектора на додатне число

Добутком ненульового вектора на число k > 0 називається такий вектор, співнапрямлений даному, довжина якого дорівнює довжині даного вектора, помноженій на k.

Множення вектора на нуль дає нульовий вектор:

Множення вектора на від’ємне число

Добутком ненульового вектора на число k < 0 називається такий вектор, протилежно напрямлений даному, довжина якого дорівнює довжині даного вектора, помноженій на k.

Розкладання вектора за неколінеарними векторами

На площині будь-який вектор можна розкласти (записати у вигляді лінійної комбінації) за двома не колінеарними векторами, при цьому коефіцієнти розкладання визначені однозначно.

 

 

У просторі будь-який вектор можна розкласти за трьома векторами, що не лежать в одній площині, при цьому коефіцієнти розкладання визначені однозначно.

 

 

Скалярний добуток векторів

Кутом між векторами називається кут, утворений рівними їм векторами, що відкладені від спільного початку.

 

 

Скалярним добутком двох векторів називаєтся добуток їх довжин на косинус кута між ними.

Косинус кута між векторами дорівнює їх скалярному добутку, поділеному на добуток довжин цих векторів.

Перпендикулярність векторів

Два вектори називаються перпендикулярними, якщо вони лежать на перепендикулярних прямих. Два вектори перпендикулярні тоді, і тільки тоді, коли скалярний добуток дорівнює нулю.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.

Прямокутна система координат у просторі.

Прямі і площини у просторі

Аксіоми стереометрії і найпростіші наслідки з них

2.1.1 Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать цій площині.

 

2.1.2 Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

 

 

2.1.3 Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину і до того ж тільки одну.

 

 

Наслідки з аксіом

2.1.4 Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну.

 

2.1.5 Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

 

2.1.6 Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.

 

Властивості паралельних площин

2.2.9 Дві різні площини, які паралельні третій, паралельні.

 

2.2.10 Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

 

2.2.11 Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

 

2.2.12 Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами – рівні.

 

 

Проектування трикутників

 

При проектуванні будь-якого трикутника (гострого, тупокутного, прямокутного, рівнобедреного або рівностороннього) утворюється трикутник довільної форми (гострокутний чи тупокутний).

 

 

Проектування паралелограмів

 

Оскільки паралельність відрізків при проектуванні зберігається, паралелограми (а також прямокутники та квадрати) зображуються паралелограмами довільної форми.

 

 

При проектуванні ромба незмінною стає одна з діагоналей,

проекцією є паралелограм.

 

 

Проектування трапеції

 

При проектуванні будь-яка трапеція (довільна, рівнобічна,

прямокутна) зображується як довільна трапеція.

 

Проектування кола

Коло при проектуванні на площину зображується як еліпс.

 

Перпендикуляр і похила

Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини (основою перпендикуляра) і лежить на прямій, перпендикулярній до площини; при цьому довжина перпендикуляра називається відстанню від даної точки до даної площини.

 

 

Похилою, проведеної з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини (основою похилої) і не є перпендикуляром до площини; відрізок, який сполучає основу перпендикуляра і похилої, проведених з однієї точки, називається проекцією похилої.

 

Властивості перпендикулярів і похилих

Рівні перпендикуляри, проведені з однієї точки поза площиною до цієї площини, мають рівні проекції. Якщо дві похилі, проведені з однієї точки поза площиною до цієї площини, мають рівні проекції, то вони рівні.

 

Найбільша з двох похилих, проведених з однієї точки поза площиною до цієї площини, що має більшу проекцію, більша.

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до її похилої. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

 

Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярним прямим.

 

Домашнє завдання

2.1 Бічні сторони трапеції паралельні площині . Яке взаємне розташування площини і площини трапеції?

2.2 Пряма проходить через середину сторони трикутника . Яке взаємне розташування прямих і , якщо пряма :

а) не лежить у площині ;

б) лежить у площині ?

2.3 Трикутник і площина розташовані так, що пряма паралельна площині і пряма паралельна площині . Яке взаємне розташування прямої і площини ?

2.4 Точка лежить поза площиною трикутника . Яке взаємне розташування прямих і ?

2.5 Дано трикутник ABC. Площина, паралельна прямій AB, перетинає сторону AC у точці M, а сторону BC – у точці K. Яка довжина відрізка MK, якщо точка M – середина AC, точка K – середина BC і AB= 16 см?

2.6 На рисунку зображено куб . Укажіть пряму перетину

а) площини і площини грані ;

б) площини і площини грані .

2.7 Сторона трикутника , зображеного на рисунку, належить площині , точки і – середини сторін і трикутника відповідно, точка знаходиться поза площиною . Яке взаємне розташування прямої і площини ?

 

2.8 Дано паралельні прямі і . Скільки існує площин, які проходять через пряму і паралельні прямій ?

2.9 Діагоналі паралелограма паралельні площині . Яке взаємне розміщення площини і площини паралелограма?

2.10 Точка M лежить поза площиною трикутника ABC. Яке взаємне розташування прямих BC і MA?

2.11 Прямі і паралельні. Як розташована пряма відносно площини , якщо пряма перетинає площину ?

2.12 Дано мимобіжні прямі і . Скільки існує площин, які проходять через пряму і паралельні прямій ?

2.13 Дано паралелограм і площину , прямі і паралельні площині . Яке взаємне розташування прямої і площини ?

2.14 Дано трикутник АВС. Площина паралельна прямій АС, перетинає сторону АВ у точці Е, а сторону ВС – у точці F. Яка довжина відрізка АС, якщо точка Е – середина АВ, точка F – середина ВС і EF = 12 см?

2.15 Основа трапеції , зображеної на рисунку, належить площині α, а основа BC не належить цій площині. Точки і – середини бічних сторін трапеції. Яке взаємне розташування прямої і площини ?

2.16 Точка А лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку. З точки А опущено перпендикуляр АВ на ребро двогранного кута і перпендикуляр АС на другу грань кута, АВ =14 см, АС =7 см. Знайдіть величину двогранного кута.

 

2.17 Пряма перпендикулярна до площини квадрата , зображеного на рисунку. Укажіть кут між прямою і площиною квадрата.

2.18 Точка віддалена від площини на 12 см. З цієї точки проведено до площини похилу завдовжки 13 см. Знайдіть довжину проекції похилої на площину .

2.19 Точка віддалена від площини на 15 см. З цієї точки проведено до площини похилу . Знайдіть довжину цієї похилої, якщо її проекція на площину дорівнює 8 см.

2.20 Пряма перпендикулярна до площини ромба , зображеного на рисунку. Укажіть кут між прямою і площиною ромба.

 

2.21 З точки до площини проведено похилі і , які утворюють з площиною кути по 30°. Знайдіть відстань від точки до площини , якщо , а довжина відрізка дорівнює 10см.

2.22 Точка знаходиться на відстані 2см від площини . Похилі і утворюють відповідно з площиною кути 60 і , а кут між похилими дорівнює . Знайдіть відстань між точками і .

2.23 Точка А знаходиться на відстані 8см від площини . Похилі АВ і АС утворюють відповідно з площиною кути і , а кут між похилими дорівнює . Знайдіть відстань між точками В і С.

2.24 З точки А до площини проведено похилі АВ і АС, довжини яких 15 см і 20 см відповідно. Знайдіть відстань від точки А до площини , якщо проекції похилих на цю площину відносяться як 9:16.

2.25 Точка А знаходиться на відстані 10см від площини . Похилі АВ і АС утворюють відповідно з площиною кути і , а кут між проекціями похилих дорівнює 120°. Знайдіть відстань між точками В і С.

2.26 З точки до площини проведено похилі і , які утворюють з площиною кути по 45°. Знайдіть відстань від точки до площини , якщо , а довжина відрізка дорівнює 16 см.

2.27 З точки , яка лежить в одній з граней двогранного кута, зображеного на рисунку, опущено перпендикуляр на ребро двогранного кута і перпендикуляр на іншу грань. Знайдіть величину двогранного кута, якщо

= см, = 6 см.

2.28 Точка лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку. З точки опущено перпендикуляр на ребро двогранного кута і перпендикуляр на другу грань кута, = 6 см, = 6 см. Знайдіть величину двогранного кута.

2.29 З точки , яка лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку, опущено перпендикуляр на ребро двогранного кута і перпендикуляр на іншу грань. Знайдіть величину двогранного кута, якщо см, см.

2.30 З точки А до площини проведено похилі АВ і АС, які утворюють з площиною кути по 60°. Знайдіть відстань між точками В і С, якщо , а відстань від точки А до площини дорівнює 3 см.

2.31 З точки до площини проведено похилі і , довжини яких відносяться як 25:26. Знайдіть відстань від точки до площини , якщо довжини проекцій похилих і на цю площину дорівнюють 7 см і 10 см.

2.32 Через сторону правильного трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут 30°. Знайдіть кути, які утворюють дві інші сторони трикутника з цією площиною.

Призми та їх види

Геометричне тіло – частина простору, обмежена якоюсь поверхнею.

 

 

Многогранник – це таке тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників.

 

Опуклим називається многогранник, який лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників (граней) на його поверхні; ребра – це сторони граней, вершини – вершини граней.

 

Діагоналлю многогранника називається такий відрізок, що сполучає дві вершини многогранника, який не лежить на грані многогранника і не є ребром.

 

Призма

Призма – це многогранник, який складається з двох плоских многокутників (основ), які лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників.

 

Висотою (Н) призми називається відстань між площинами її основ.

Властивості призми

Основи призми рівні.

Площини основ паралельні.

Усі бічні ребра рівні і паралельні.

Усі бічні грані – паралелограми.

Перпендикулярний переріз призми

 

Перпендикулярним називається переріз призми площиною, перпендикулярною до бічного ребра призми, яка перетинає всі бічні ребра.

 

 

Пряма призма

Прямою називається призма, бічні ребра якої перпендикулярні до основ.

 

 

Правильною називається пряма призма, основи якої є правильними многокутниками.

 

Прямокутний паралелепіпед

Прямокутним називається прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

 

Лінійними розмірами (вимірами) прямокутного паралелепіпеда називаються довжини ребер,що виходять з однієї вершини.

 

Усі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

 

Квадрат кожної діагоналі дорівнює сумі квадратів лінійних розмірів:

d²=a²+b²+c²

Куб

Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

 

Усі грані куба – рівні квадрати.

 

Положення вершини піраміди

Вершина рівновіддалена від вершин основи тоді і тільки тоді, коли її проекція є центром описаного навкруги многокутника основи кола або усі бічні ребра однаково нахилені до площини основи.

Вершина рівновіддалена від сторін основи тоді і тільки тоді, коли її проекція є центром вписаного у многокутник основи кола або усі бічні грані однаково нахилені до площини основи.

Правильна піраміда

Правильною називається піраміда, основа якої є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника.

Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту.

Апофемою правильної піраміди називається висота бічної грані.

Основні властивості

Основи циліндрів рівні і лежать у паралельних площинах.

Твірні циліндра паралельні і рівні.

Висота циліндра дорівнює твірній.

При обертанні прямокутника навколо його сторони утворюється циліндр.

Циліндр і площини

Осьовий переріз циліндра утворюється площиною, яка проходить через його вісь; це прямокутник, одна сторона якого дорівнює висоті циліндра, а інша – діаметру.

 

Переріз циліндра площиною, паралельною до його осі, є прямокутником, одна із сторін якого дорівнює висоті циліндра.

 

Переріз циліндра площиною, паралельною до його основи, є кругом, що дорівнює основі.

 

Конус

Конусом (прямим круговим конусом) називається тіло, яке складається з круга (основи), точки (вершини), яка лежить поза площиною основи на прямій, перпендикулярній до цієї площини, і всіх відрізків, які сполучають вершини конуса з точками основи.

 

Твірна конуса – це відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою на колі основи.

 

Висота конуса – це перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи (він сполучає вершину з центром основи).

 

Вісь конуса – це пряма, яка містить його висоту.

 

Основні властивості

Усі твірні конуса рівні між собою.

При обертанні прямокутного трикутника навколо його катета утворюється конус.

Твірну можна визначити через радіус основи та висоту за теоремою Піфагора: l²=R²+H²

Конус і площини

Осьовий переріз конуса утворюється площиною, яка містить вісь конуса; це рівнобедрений трикутник, бічні сторони якого – твірні конуса, а основа - діаметр основи конуса.

Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, є рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса.

 

Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню – по колу з центром на осі конуса.

 

Зрізаний конус

Зрізаний конус – це частина конуса, утворена перерізом конуса площиною, паралельною до основи, але не подібна до самого конуса.

Основи зрізаного конуса – два круга з різними радіусами.

Висота зрізаного конуса – це відстань між площинами його основ.

Вісь зрізаного конуса – це пряма, яка проходить через центри його основ.

Твірна зрізаного конуса – це частина твірного конуса, яка лежить між основами утвореного зрізаного конуса.
3.4 Куля та сфера. Взаємне розміщення площини та кулі.

Площина, дотична до сфери

Куля – це тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки (центра) на відстані, не більше за дану (радіус).

 

Сфера (кульова поверхня) – це межа кулі.

 

Діаметр – відрізок, який сполучає дві точки (діаметрально протилежні точки кулі) кульової поверхні і проходить через центр кулі.

 

Перерізи кулі

Будь-який переріз кулі площиною є круг; центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

 

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною; вона утворює переріз кулі, який має назву великий круг.

 

Площина, що має одну спільну точку зі сферою, називається дотичною до сфери

Радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до площини.

Домашнє завдання

3.1 У прямокутному паралелепіпеді AD = 24 см, CD = 5 см, = 10 см. Чому дорівнює площа прямокутника ?

3.2 Ребро куба дорівнює 2 см. Чому дорівнює площа трикутника ?

3.3 Діагональ основи куба дорівнює а. Чому дорівнює діагональ куба?

3.4 Основа прямої призми – трикутник зі стороною с і прилеглими до неї кутами і . Діагональ бічної грані, що проходить через сторону основи, яка протилежна куту , нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть висоту призми.

3.5 Основа прямої призми — трикутник зі стороною , протилежним цій стороні кутом і прилеглим кутом . Діагональ бічної грані, яка містить стонону основи, до якої прилягають кути і , нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть висоту призми.

3.6 Основа піраміди – трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть площу перерізу, який проходить паралельно площині основи і ділить висоту піраміди у відношенні 1:2, рахуючи від вершини піраміди.

3.7 Основа піраміди — трикутник зі стронами 6 см, 25 см і 29 см. Знайдіть площу перерізу, який проходить паралельно площині основи і ділить висоту піраміди у відношенні 1:3, рахуючи від вершини піраміди.

3.8 Висота циліндра дорівнює 6 см, а його об’єм – 18 см . Чому дорівнює площа основи циліндра?

3.9 Кут між твірною і площиною основи конуса дорівнює см. Знайдіть висоту конуса.

3.10 Кут між твірною і площиною основи конуса дорівнює 60 , висота конуса дорівнює см. Знайдіть твірну конуса.

3.11 Висота конуса дорівнює 14 см, а кут при вершині осьового перерізу – 120 . Знайдіть радіус основи конуса.

3.12 Радіус основи конуса дорівнює 12 см, а кут при вершині осьового перерізу – 120°. Знайдіть твірну конуса.

3.13 Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює см, проведено площину, що перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу, градусна міра якої дорівнює 90°. Знайдіть площу перерізу, якщо кут між діагоналлю перерізу і вказаною хордою дорівнює 60°.

3.14 Висота циліндра дорівнює 8 см, радіус основи – 5 см. На відстані 4 см від осі циліндра паралельно їй проведено площину. Знайдіть площу перерізу, який при цьому утворився.

3.15 У нижній основі циліндра проведено хорду завдовжки 8 см, яка знаходиться на відстані 3 см від центра цієї основи. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра, якщо його висота дорівнює 6 см.

3.16 Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює 8 см, проведено площину, що перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу, градусна міра якої 120°. Знайдіть площу перерізу, якщо його діагональ дорівнює 16 см.

3.17 Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює , проведено переріз. Знайдіть площу цього перерізу, якщо висота конуса дорівнює h і утворює з його твірною кут .

3.18 Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює , проведено переріз. Знайдіть площу цього перерізу, якщо радіус основи конуса дорівнює , а твірна утворює з площиною основи кут .

3.19 У кулі з центром , зображеній на рисунку, проведено переріз з центром на відстані 12 см від центра кулі. Знайдіть радіус кулі, якщо радіус перерізу дорівнює 9 см.

 

3.20 У кулі проведено переріз на відстані 5 см від центра кулі. Знайдіть радіус перерізу, якщо радіус кулі дорівнює 13 см.

Піраміда

Повна поверхня піраміди складається з основи та n бічних граней (відповідно до кількості вершин основи)

S_повн=S_б+ S_осн

Для правильної піраміди

Площа бічної поверхні дорівнює половині добутку периметра основи на довжину апофеми

S_б=1/2 P_оснl

Площі основи і бічної поверхні правильної піраміди відносяться як косинус кута між бічною гранню та площиною основи:

S_осн/S_б=cosj

Для зрізаної піраміди

Повна поверхня зрізаної піраміди складається з бічної поверхні та двох основ:

S_повн= S_б+S₁+S₂

де S₁ і S₂ – площі основ.

Об’єм призми та піраміди

Об’єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту H

V= S_оснH

Об’єм призми дорівнює добутку площі перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра l

V=S_перпl

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів

V=a b c