Ознака перпендикулярності площин

Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

 

 

Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину.

 

Кут між площинами. Кутом між двома площинами називається плоский кут, утворений прямими, перетину цих площин із площиною, перпендикулярною до прямої, за якою вони перетинаються (кут між паралельними площинами дорівнює 0⁰).

 

 

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами (гранями) зі спільною прямою (ребром), що їх обмежує.

 

 

Лінійним кутом двогранного кута називається плоский кут, утворений двома пів прямими, за якими грані двогранного кута перетинає площина, перпендикулярна до його ребра.

 

 

При необхідності побудови лінійного кута двогранного кута на одній грані вибирається якась точка, яка проектується на іншу грань і на ребро двогранного кута; при цьому утворюється лінійний кут.

 

 

Домашнє завдання

2.1 Бічні сторони трапеції паралельні площині . Яке взаємне розташування площини і площини трапеції?

2.2 Пряма проходить через середину сторони трикутника . Яке взаємне розташування прямих і , якщо пряма :

а) не лежить у площині ;

б) лежить у площині ?

2.3 Трикутник і площина розташовані так, що пряма паралельна площині і пряма паралельна площині . Яке взаємне розташування прямої і площини ?

2.4 Точка лежить поза площиною трикутника . Яке взаємне розташування прямих і ?

2.5 Дано трикутник ABC. Площина, паралельна прямій AB, перетинає сторону AC у точці M, а сторону BC – у точці K. Яка довжина відрізка MK, якщо точка M – середина AC, точка K – середина BC і AB= 16 см?

2.6 На рисунку зображено куб . Укажіть пряму перетину

а) площини і площини грані ;

б) площини і площини грані .

2.7 Сторона трикутника , зображеного на рисунку, належить площині , точки і – середини сторін і трикутника відповідно, точка знаходиться поза площиною . Яке взаємне розташування прямої і площини ?

 

2.8 Дано паралельні прямі і . Скільки існує площин, які проходять через пряму і паралельні прямій ?

2.9 Діагоналі паралелограма паралельні площині . Яке взаємне розміщення площини і площини паралелограма?

2.10 Точка M лежить поза площиною трикутника ABC. Яке взаємне розташування прямих BC і MA?

2.11 Прямі і паралельні. Як розташована пряма відносно площини , якщо пряма перетинає площину ?

2.12 Дано мимобіжні прямі і . Скільки існує площин, які проходять через пряму і паралельні прямій ?

2.13 Дано паралелограм і площину , прямі і паралельні площині . Яке взаємне розташування прямої і площини ?

2.14 Дано трикутник АВС. Площина паралельна прямій АС, перетинає сторону АВ у точці Е, а сторону ВС – у точці F. Яка довжина відрізка АС, якщо точка Е – середина АВ, точка F – середина ВС і EF = 12 см?

2.15 Основа трапеції , зображеної на рисунку, належить площині α, а основа BC не належить цій площині. Точки і – середини бічних сторін трапеції. Яке взаємне розташування прямої і площини ?

2.16 Точка А лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку. З точки А опущено перпендикуляр АВ на ребро двогранного кута і перпендикуляр АС на другу грань кута, АВ =14 см, АС =7 см. Знайдіть величину двогранного кута.

 

2.17 Пряма перпендикулярна до площини квадрата , зображеного на рисунку. Укажіть кут між прямою і площиною квадрата.

2.18 Точка віддалена від площини на 12 см. З цієї точки проведено до площини похилу завдовжки 13 см. Знайдіть довжину проекції похилої на площину .

2.19 Точка віддалена від площини на 15 см. З цієї точки проведено до площини похилу . Знайдіть довжину цієї похилої, якщо її проекція на площину дорівнює 8 см.

2.20 Пряма перпендикулярна до площини ромба , зображеного на рисунку. Укажіть кут між прямою і площиною ромба.

 

2.21 З точки до площини проведено похилі і , які утворюють з площиною кути по 30°. Знайдіть відстань від точки до площини , якщо , а довжина відрізка дорівнює 10см.

2.22 Точка знаходиться на відстані 2см від площини . Похилі і утворюють відповідно з площиною кути 60 і , а кут між похилими дорівнює . Знайдіть відстань між точками і .

2.23 Точка А знаходиться на відстані 8см від площини . Похилі АВ і АС утворюють відповідно з площиною кути і , а кут між похилими дорівнює . Знайдіть відстань між точками В і С.

2.24 З точки А до площини проведено похилі АВ і АС, довжини яких 15 см і 20 см відповідно. Знайдіть відстань від точки А до площини , якщо проекції похилих на цю площину відносяться як 9:16.

2.25 Точка А знаходиться на відстані 10см від площини . Похилі АВ і АС утворюють відповідно з площиною кути і , а кут між проекціями похилих дорівнює 120°. Знайдіть відстань між точками В і С.

2.26 З точки до площини проведено похилі і , які утворюють з площиною кути по 45°. Знайдіть відстань від точки до площини , якщо , а довжина відрізка дорівнює 16 см.

2.27 З точки , яка лежить в одній з граней двогранного кута, зображеного на рисунку, опущено перпендикуляр на ребро двогранного кута і перпендикуляр на іншу грань. Знайдіть величину двогранного кута, якщо

= см, = 6 см.

2.28 Точка лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку. З точки опущено перпендикуляр на ребро двогранного кута і перпендикуляр на другу грань кута, = 6 см, = 6 см. Знайдіть величину двогранного кута.

2.29 З точки , яка лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку, опущено перпендикуляр на ребро двогранного кута і перпендикуляр на іншу грань. Знайдіть величину двогранного кута, якщо см, см.

2.30 З точки А до площини проведено похилі АВ і АС, які утворюють з площиною кути по 60°. Знайдіть відстань між точками В і С, якщо , а відстань від точки А до площини дорівнює 3 см.

2.31 З точки до площини проведено похилі і , довжини яких відносяться як 25:26. Знайдіть відстань від точки до площини , якщо довжини проекцій похилих і на цю площину дорівнюють 7 см і 10 см.

2.32 Через сторону правильного трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут 30°. Знайдіть кути, які утворюють дві інші сторони трикутника з цією площиною.