Властивості правильної піраміди

Усі бічні ребра рівні й однаково нахилені до площини основи.

Усі бічні грані – однакові рівнобедрені трикутники, нахилені до площини основи під рівними кутами.

Зрізана піраміда

Зрізана піраміда – це многогранник, утворений перерізом піраміди площиною, паралельною до основи, але не подібний до цієї піраміди.

Основи зрізаної піраміди – подібні многокутники.

Бічні грані зрізаної піраміди – трапеції.

Висота зрізаної піраміди – це відстань між площинами її основ.

Правильна зрізана піраміда

Основи правильної зрізаної піраміди – правильні многокутники.

Пряма (вісь), що сполучає центри основ, перпендикулярна до площин основ.

Апофема правильної зрізаної піраміди сполучає середини відповідних сторін її основ.

Тіла і поверхні обертання. Циліндр, конус, їх елементи.

Перерізи циліндра і конуса площинами

 

Циліндром (прямим круговим циліндром) називається тіло, що складається з двох кругів (основ), які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки всіх кругів і перпендикулярні до площин основ.

 

Твірна циліндра – це відрізок, що сполучає відповідні точки на колах основ.

 

Радіус циліндра – це радіус його основи.

 

Висота циліндра – відстань між площинами його основ.

 

Вісь циліндра – пряма, яка проходить через центри його основ.

 

Основні властивості

Основи циліндрів рівні і лежать у паралельних площинах.

Твірні циліндра паралельні і рівні.

Висота циліндра дорівнює твірній.

При обертанні прямокутника навколо його сторони утворюється циліндр.

Циліндр і площини

Осьовий переріз циліндра утворюється площиною, яка проходить через його вісь; це прямокутник, одна сторона якого дорівнює висоті циліндра, а інша – діаметру.

 

Переріз циліндра площиною, паралельною до його осі, є прямокутником, одна із сторін якого дорівнює висоті циліндра.

 

Переріз циліндра площиною, паралельною до його основи, є кругом, що дорівнює основі.

 

Конус

Конусом (прямим круговим конусом) називається тіло, яке складається з круга (основи), точки (вершини), яка лежить поза площиною основи на прямій, перпендикулярній до цієї площини, і всіх відрізків, які сполучають вершини конуса з точками основи.

 

Твірна конуса – це відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою на колі основи.

 

Висота конуса – це перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи (він сполучає вершину з центром основи).

 

Вісь конуса – це пряма, яка містить його висоту.

 

Основні властивості

Усі твірні конуса рівні між собою.

При обертанні прямокутного трикутника навколо його катета утворюється конус.

Твірну можна визначити через радіус основи та висоту за теоремою Піфагора: l²=R²+H²

Конус і площини

Осьовий переріз конуса утворюється площиною, яка містить вісь конуса; це рівнобедрений трикутник, бічні сторони якого – твірні конуса, а основа - діаметр основи конуса.

Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, є рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса.

 

Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню – по колу з центром на осі конуса.

 

Зрізаний конус

Зрізаний конус – це частина конуса, утворена перерізом конуса площиною, паралельною до основи, але не подібна до самого конуса.

Основи зрізаного конуса – два круга з різними радіусами.

Висота зрізаного конуса – це відстань між площинами його основ.

Вісь зрізаного конуса – це пряма, яка проходить через центри його основ.

Твірна зрізаного конуса – це частина твірного конуса, яка лежить між основами утвореного зрізаного конуса.
3.4 Куля та сфера. Взаємне розміщення площини та кулі.

Площина, дотична до сфери

Куля – це тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки (центра) на відстані, не більше за дану (радіус).

 

Сфера (кульова поверхня) – це межа кулі.

 

Діаметр – відрізок, який сполучає дві точки (діаметрально протилежні точки кулі) кульової поверхні і проходить через центр кулі.

 

Перерізи кулі

Будь-який переріз кулі площиною є круг; центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

 

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною; вона утворює переріз кулі, який має назву великий круг.

 

Площина, що має одну спільну точку зі сферою, називається дотичною до сфери

Радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до площини.

Домашнє завдання

3.1 У прямокутному паралелепіпеді AD = 24 см, CD = 5 см, = 10 см. Чому дорівнює площа прямокутника ?

3.2 Ребро куба дорівнює 2 см. Чому дорівнює площа трикутника ?

3.3 Діагональ основи куба дорівнює а. Чому дорівнює діагональ куба?

3.4 Основа прямої призми – трикутник зі стороною с і прилеглими до неї кутами і . Діагональ бічної грані, що проходить через сторону основи, яка протилежна куту , нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть висоту призми.

3.5 Основа прямої призми — трикутник зі стороною , протилежним цій стороні кутом і прилеглим кутом . Діагональ бічної грані, яка містить стонону основи, до якої прилягають кути і , нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть висоту призми.

3.6 Основа піраміди – трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть площу перерізу, який проходить паралельно площині основи і ділить висоту піраміди у відношенні 1:2, рахуючи від вершини піраміди.

3.7 Основа піраміди — трикутник зі стронами 6 см, 25 см і 29 см. Знайдіть площу перерізу, який проходить паралельно площині основи і ділить висоту піраміди у відношенні 1:3, рахуючи від вершини піраміди.

3.8 Висота циліндра дорівнює 6 см, а його об’єм – 18 см . Чому дорівнює площа основи циліндра?

3.9 Кут між твірною і площиною основи конуса дорівнює см. Знайдіть висоту конуса.

3.10 Кут між твірною і площиною основи конуса дорівнює 60 , висота конуса дорівнює см. Знайдіть твірну конуса.

3.11 Висота конуса дорівнює 14 см, а кут при вершині осьового перерізу – 120 . Знайдіть радіус основи конуса.

3.12 Радіус основи конуса дорівнює 12 см, а кут при вершині осьового перерізу – 120°. Знайдіть твірну конуса.

3.13 Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює см, проведено площину, що перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу, градусна міра якої дорівнює 90°. Знайдіть площу перерізу, якщо кут між діагоналлю перерізу і вказаною хордою дорівнює 60°.

3.14 Висота циліндра дорівнює 8 см, радіус основи – 5 см. На відстані 4 см від осі циліндра паралельно їй проведено площину. Знайдіть площу перерізу, який при цьому утворився.

3.15 У нижній основі циліндра проведено хорду завдовжки 8 см, яка знаходиться на відстані 3 см від центра цієї основи. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра, якщо його висота дорівнює 6 см.

3.16 Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює 8 см, проведено площину, що перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу, градусна міра якої 120°. Знайдіть площу перерізу, якщо його діагональ дорівнює 16 см.

3.17 Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює , проведено переріз. Знайдіть площу цього перерізу, якщо висота конуса дорівнює h і утворює з його твірною кут .

3.18 Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює , проведено переріз. Знайдіть площу цього перерізу, якщо радіус основи конуса дорівнює , а твірна утворює з площиною основи кут .

3.19 У кулі з центром , зображеній на рисунку, проведено переріз з центром на відстані 12 см від центра кулі. Знайдіть радіус кулі, якщо радіус перерізу дорівнює 9 см.

 

3.20 У кулі проведено переріз на відстані 5 см від центра кулі. Знайдіть радіус перерізу, якщо радіус кулі дорівнює 13 см.