Паралельність прямих, прямої і площини, двох площин у просторі

2.2.1 Дві прямі перетинаються, якщо вони мають єдину спільну точку (такі прямі лежать в одній площині).

 

2.2.2 Дві прямі у просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

 

2.2.3 Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.

 

2.2.4 Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

 

 

2.2.5 Ознака паралельності прямої і площини

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

 

 

2.2.6 Якщо через пряму, яка паралельна даній площині, проходить площина, що перетинає дану площину, то пряма, за якої перетинаються ці площини, буду паралельна даній прямій.

 

 

2.2.7 Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

 

 

2.2.8 Ознака паралельності площин

Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

 

 

Властивості паралельних площин

2.2.9 Дві різні площини, які паралельні третій, паралельні.

 

2.2.10 Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

 

2.2.11 Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

 

2.2.12 Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами – рівні.

 

 

Зображення просторових фігур на площині

 

Для зображення просторових фігур на площині користуються паралельним проектуванням: такий спосіб відповідає зоровому сприйманню фігури під час їх розглядання здалеку.

 

 

Властивості зображення фігур на площині

Прямолінійні відрізки фігури зображуються на площині малюнка відрізками; паралельні відрізки фігури зображуються на площині малюнка паралельними відрізками.

 

 

Середина відрізка при зображенні його на площині теж є серединою.

 

Відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих збігається при паралельному проектуванні.

 

Проектування трикутників

 

При проектуванні будь-якого трикутника (гострого, тупокутного, прямокутного, рівнобедреного або рівностороннього) утворюється трикутник довільної форми (гострокутний чи тупокутний).

 

 

Проектування паралелограмів

 

Оскільки паралельність відрізків при проектуванні зберігається, паралелограми (а також прямокутники та квадрати) зображуються паралелограмами довільної форми.

 

 

При проектуванні ромба незмінною стає одна з діагоналей,

проекцією є паралелограм.

 

 

Проектування трапеції

 

При проектуванні будь-яка трапеція (довільна, рівнобічна,

прямокутна) зображується як довільна трапеція.

 

Проектування кола

Коло при проектуванні на площину зображується як еліпс.

 

Перпендикулярність прямих і площин

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Ознака перпендикулярності прямої і площини

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині і перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

 

Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.

 

 

Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї ж площини – паралельні.

 

 

Пряма, яка перпендикулярна одній із двох паралельних площин, перпендикулярна й до другої.

 

 

Якщо пряма перпендикулярна до двох різних площин, то ці площини паралельні.

 

 

Перпендикуляр і похила

Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини (основою перпендикуляра) і лежить на прямій, перпендикулярній до площини; при цьому довжина перпендикуляра називається відстанню від даної точки до даної площини.

 

 

Похилою, проведеної з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини (основою похилої) і не є перпендикуляром до площини; відрізок, який сполучає основу перпендикуляра і похилої, проведених з однієї точки, називається проекцією похилої.

 

Властивості перпендикулярів і похилих

Рівні перпендикуляри, проведені з однієї точки поза площиною до цієї площини, мають рівні проекції. Якщо дві похилі, проведені з однієї точки поза площиною до цієї площини, мають рівні проекції, то вони рівні.

 

Найбільша з двох похилих, проведених з однієї точки поза площиною до цієї площини, що має більшу проекцію, більша.

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до її похилої. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

 

Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярним прямим.