Дві взаємно перпендикулярні площини

Умова завдання. Через дану пряму EF провести площину, перпендикулярну до заданої площини ABC. Побудувати лінію перетину цих площин.

Мета завдання: засвоїти методи розв'язування задач на перпендикулярність і взаємний перетин прямої та площини й двох площин.

Рекомендації до виконання завдання.

Приклад виконання завдання показано на рис. 13.

Наведемо деякі теоретичні положення.

Пряма m перпендикулярна до площини θ, якщо вона перпендикулярна до двох будь-яких пересічних прямих цієї площини. Для зручності розв'язування задач за пересічні прямі краще взяти горизонталь h і фронталь f площини, тому що прямий кут між m та h і між m та f проектується відповідно на площини П₁ та П₂ без спотворення. Умова перпендикулярності між прямою m і площиною θ може бути записана так: m_┴θ, якщо m_1┴h₁, m_2┴h₂.

Отже, для побудови площини, перпендикулярної до заданої площини і такої, що проходить через задану пряму, досить із будь-якої точки цієї прямої опустити перпендикуляр на задану площину.

Для побудови лінії перетину двох площин необхідно визначити точки перетину двох прямих побудованої площини із заданою та їх з'єднати. Щоб визначити точку перетину прямої з площиною, доцільно застосувати метод допоміжних січних площин. Алгоритм розв'язання задач складається з таких операцій:

1) через задану пряму проводять допоміжну площину Σ;

2) знаходять лінію перетину заданої площини 6 із допоміжною Σ;

3) визначають точку перетину двох прямих – заданої та лінії перетину.

Послідовність виконання завдання така:

1. За заданими координатами точок (табл. 11) накреслити проекції трикутника ABC (θ) і прямої EF.

2. Провести у площині трикутника ABC горизонталь h та фронталь f.

3. З точки Е провести перпендикуляр m до площини трикутника. Площина, утворена пряними EF і m, буде перпендикулярна до площини трикутника ABC.

4. Визначити точки М та N перетину прямих EF і m із площиною ABC та з'єднати їх прямою.

5. Видимість площин визначити за допомогою конкуруючих точок.

Задача може бути розв'язана за допомогою методів перетворення комплексного рисунка, тобто якщо перетворити задану площину загального положення в площину окремого положення. Для цього можна застосувати методи заміни площин проекцій, плоскопаралельне переміщення та косокутне допоміжне проектування. На прикладі до цього завдання (права частина рис. 13) використано метод заміни площин проекцій. Послідовність виконання завдання така. У площині трикутника ABC потрібно провести горизонталь h, а перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі – вертикальну площину (її горизонтальний слід – Х₁₄). При цьому горизонталь спроектується в точку h₄ (A ₄ ≡ 1₄), а весь трикутник ABC – у пряму А₄В₄С₄. Спроектувавши площину ABC у пряму й опустивши на неї перпендикуляр із точки Е, легко графічно визначити лінію перетину перпендикулярної площини (EF і m) та заданої ABC.

Рис. 13

Таблиця 11

№	Координати точок
А	В	С	Е	F
X	У	Z	X	У	Z	X	У	Z	X	У	Z	X	У	Z
	120	35	65	45	20	20	ю	70	40	30	30	70	100	45	40
	120	0	0	60	65	65	60	40	0	35	15	70	105	35	75
	140	90	10	60	0	70	20	0	55	70	60	70	40	10	20
	110	60	30	10	40	80	50	10	10	30	50	10	100	15	45
	130	10	15	55	75	55	10	30	0	30	15	45	115	50	0
	100	40	0	50	10	80	10	70	20	115	100	85	5	20	45
	100	45	75	45	15	10	0	70	50	30	0	75	110	65	35
	120	85	30	10	35	75	50	10	10	30	50	10	55	40	80
	120	35	75	45	80	15	0	0	50	100	10	20	30	30	65
	120	0	0	60	65	65	25	0	40	50	70	5	85	45	10
	110	60	30	0	40	75	70	10	10	80	10	60	0	45	40
	110	10	15	60	70	55	0	35	0	70	90	0	95	30	50
	120	45	90	45	15	10	0	70	45	35	10	70	80	45	55
	120	40	100	45	80	15	0	0	50	35	70	90	10	0	30
	30	0	35	55	75	5	120	45	70	20	50	75	100	60	30
	20	75	40	65	10	80	110	50	0	40	30	20	30	95	55
	110	50	0	20	75	40	65	15	80	75	80	65	95	30	5
	90	40	75	45	80	15	0	0	50	70	20	30	65	65	95
	85	35	0	51	0	75	20	70	40	90	50	50	0	40	75
	40	45	75	50	15	10	0	70	45	65	70	5	75	40	45
	90	60	30	10	40	75	50	10	10	60	10	45	80	65	20
	100	10	15	55	70	65	30	30	0	30	20	80	90	50	45
	85	35	0	50	10	75	20	70	40	40	10	20	90	40	20
	120	40	75	45	80	15	0	0	50	80	15	30	15	50	30
	20	0	35	55	75	5	90	40	65	25	50	50	100	50	30
	20	75	40	65	10	80	110	50	0	40	20	20	25	25	50
	110	50	0	20	75	40	65	15	80	75	80	65	25	55	35
	115	45	75	45	15	10	0	70	45	65	65	5	5	60	30
	100	10	15	55	75	55	25	30	0	30	25	80	90	85	5
	85	35	0	50	10	75	20	70	40	95	70	50	10	25	50

Завдання 10