Взаємне положення точки і прямої, двох прямих

Точка може належати і не належати даній прямій.

Точка належить прямій, якщо її проекції лежать на однойменних проекціях цієї прямої. На рис. 2.23 точки А і В належать прямій а, оскільки А₁ є а₁, А₂ є а₂, В₁ є а₁, В₂ є а₂, а на рис. 2.24 точка В не належить прямій а.

Рис. 2.23 Рис. 2.24

Для виявлення належності точок прямим особливого положення необхідно будувати їх проекції на три площини.

Прямі в просторі можуть перетинатись, бути мимобіжними або паралельними.

Якщо прямі в просторі перетинаються, то вони мають одну спільну точку. Отже, на епюрі (рис. 2.25) точки К₁ і К₂ перетину однойменних проекцій прямих знаходиться на одній прямій проекційного зв’язку.

Паралельні прямі– це такі прямі, які перетинаються в точці, яка віддалена у нескінченність. На епюрі (рис. 2.26) однойменні проекції таких прямих паралельні (С1 ││ d1, C2 ││ d2).

Мимобіжні прямі – це такі прямі, які не мають спільної точки. Отже, на епюрі (рис. 2.27) точки перетину однойменних проекцій прямих м і n не лежать на одній прямій проекційного зв’язку. Однойменні проекції таких прямих можуть перетинатись. Проте точки перетину однойменних проекцій є проекціями двох конкуруючих точок. У точці 1₂ = 2₂ збігаються проекції точок 1 і 2, які лежать на одній проектуючій прямій: видима точка 1 належить прямій n(1 є n), а невидима точка 2 є м. Відносно площини П₁ видимою буде точка 4,
не видимою – точка 3.

Рис. 2.25 Рис. 2.26 Рис. 2.27

 

Проекції прямих, що перетинаються під прямим кутом

 

Теорема: Прямий кут проектується ортогонально без спотворення, якщо принаймі одна з його сторін паралельна площині проекцій, а друга сторона не перпендикулярна до цієї площини.

Для доведення цієї теореми звернемося до рис. 2.28. Фігура АВВ₁А₁ – прямокутник. Отже, АВ перпендикулярний до проектуючої площини ВСС₁В₁, оскільки він перпендикулярний до двох прямих, що перетинаютья і лежать у цій площині (АВ ^ ВС, за умовою і АВ ^ ВВ₁ за побудовою). Оскільки АВ ││ А₁В₁, то АВ ^ площині ВСС₁В₁. Тому А₁В₁ ^ В₁С₁, тобто <А₁В₁С₁ = 90˚.

На рис. 2.29 побудована в точці С проекція прямого кута, у якого ВС ││ П₁, а на рис 2.30 - ВС ││ П₂.

Рис. 2.28 Рис. 2.29 Рис. 2.30

 

ПЛОЩИНА

 

Способи задання площини на епюрі

1. Трьома точками, які не лежать на одній прямій, - S (А, В, С).

2. Прямою і точкою, що не лежить на цій прямій, - S (а, в).

3. Двома прямими, що перетинаються, - S (m ∩ n).

4. Двома паралельними прямими, - S (а // в).

5. Будь-якою плоскою фігурою, - S (АВС).

Отже, на ортогональному рисунку площину задають проекціями перерахованих геометричних елементів.

Основним визначником площини є три точки (рис. 2.31), решта – похідні цьго визначника.

Рис. 2.31

Площина ∆ може бути задана лініями перерізу її площинами проекцій, які називаються слідами.

На рис.42 h⁰ – горизонтальний слід, f⁰ - фронтальний слід. Точку перетину слідів на осі проекцій називають точкою збігу слідів і позначають ∆ х.

На рис. 43 подано площину, яка на епюрі Монжа задана слідами, причому фронтальна проекція h₂⁰ і горизонтальна проекція фронтального сліду f₁⁰ збігаються з віссю х₁₂..

Сліди будь-якої прямої а, яка є підмножиною площини, належать однойменним слідам площини (рис. 3.32, 2.33). Отже, для побудови слідів площини, яка задана паралельними прямими, або прямими, що перетинаються, достатньо побудувати сліди прямих і з’єднати їх прямими лініями.

 

 

Рис. 2.32 Рис. 2.33

 

Положення площини відносно площин проекцій

У системі координатних площин проекцій площина може займати загальне і особливе положення.

Площина загального положення не перпендикулярна до жодної площини проекцій (рис. 2.31 – 2.33).

До площин особливого положення належать:

1. Перпендикулярні до однієї площини проекцій (проектуючі площини);

2. Перпендикулярні до двох площин проекцій (площини рівня).

До проектуючих площин належать:

- горизонтально-проектуючу площину ∆ ^ П₁ (рис. 2.34);

- фронтально-проектуючу площину θ ^ П₂ (рис. 2.35);

- профільно-проектуючу площину Ψ ^ П₃ (рис.2.36).

Рис. 2.34

 

 

Рис. 2.35

 

Рис. 2.36

 

Властивості проектуючих площин:

1. Проекція точки, а також будь-якої геометричної фігури, яка лежить у проектуючій площині, належить (рис. 2.34), фронтальному (рис. 2.35), або профільному (рис. 2.36) сліду – проекції цієї площини.

2. Сліди-проекції утворюють з осями проекцій кути a, b, g, які дорівнюють дійсним кутам нахилу площини до площин проекцій.

3. Другий слід f₂⁰ (рис.45), h₁⁰ (рис.46), p₃⁰ (рис.47) завжди перпендикулярний до осі проекцій.

До площин рівня належать: горизонтальні (θ // П₁), фронтальні (Ф // П₂) і профільні (∆ // П₃). Ці площини перпендикулярні двом іншим площинам проекцій.

На рис. 2.37 і 2.38 зображені відповідно горизонтальна і фронтальна площини рівня. Площинам рівня притаманні перша і друга властивості проектуючих площин. Крім того, прямі лінії і фігури, що є підмножиною цих площин, проектуються в дійсну величину на однойменну площину проекцій, а сліди – проекції завжди перпендикулярні осям проекцій.

Рис. 2.37 Рис. 2.38

 

Пряма і точка в площині

Точка належить площині, якщо вона лежить на прямій, що належить цій площині. Точка А (рис. 2.39) лежить на прямій в (на проекційному рисунку її проекції А₁ і А₂ знаходяться на вертикальній лінії проекційного зв׳язку на однойменних проекціях в₁ і в₂ прямої в). Отже, точка А лежить у площині ∆ (а ∩в). За такою самою ознакою точка В ∆ (а ∩ в).

Пряма належить площині, якщо має з нею дві спільні точки.. Пряма п проходить через точки А і в, що належать площині ∆ (на проекційному рисунку А₁ в, А₂ в₂ , в₁ а₁, в₂ а₂). Отже, пряма п має дві спільні точки з площиною і належить площині ∆ (а ∩ в).

 

Рис. 2.39 Рис. 2.40

Пряма належить площині в тому і в тому випадку, коли має одну спільну точку з площиною і паралельна іншій прямій, яка належить цій площині.

На рис. 2.40 подано площину Q (ABF). Пряма l проходить через точку С, що лежить на стороні [ AF ] (на рисунку С₁ [A₁F₁], C₂ [A₂F₂]) і паралельна прямій m, яка належить площині Q (на проекційному рисунку l₁ || m₁, l₂ || m₂). Отже, пряма l знаходиться в площині Q (∆ABF).

 

Основні лінії площини

До основних ліній площини належать:

1. Прямі, які лежать у площині та паралельні одній з площин проекцій.

2. Прямі, які лежать у площині та перпендикулярні до будь-якої лінії, згаданої у першому пункті.

Прямі, що паралельні площині проекцій, належать площині рівня, тому їх називають прямими (лініями) рівня.

1. h || h⁰ П₁ - горизонтальна пряма площини (горизонталь);

2. f || f⁰ П₂ - фронтальна пряма площини (фронталь);

3. p || p⁰ П₃ - профільна пряма площини.

Сліди h⁰, f⁰, p⁰ площини R також належать до основних ліній. Їх називають нульовими лініями рівня.

Пряма, яка знаходиться в площині та перпендикулярна до горизонталі (фронталі або профільної прямої) називається лінією найбільшого нахилу до площини проекцій П₁ (П₂ або П₃). Ці лінії визначають кути нахилу площини до площин проекцій.

1. m ^ h - лінія найбільшого нахилу до горизонтальної площини проекцій;

2. n ^ f - лінія найбільшого нахилу до фронтальної площини проекцій;

3. l ^ p - лінія найбільшого нахилу до профільної площини проекцій.

Розглянемо детальніше деякі з цих основних ліній.

 

Горизонтальна пряма площини (h Ф, h || П₁) (рис. 2.41 а)

Усі точки горизонталі мають однакові висоти, тому на ортогональному (рис. 2.41 б) фронтальна проекція h₂ горизонталі h паралельна осі х₁₂, а горизонтальна проекція h₁ паралельна горизонтальному сліду площини (h₁ h⁰) або ж проходить через проекції 1₁ і 2₁ точок 1 і 2 (рис. 2.41 в) перетину з прямими m i n, які визначають площину Ф (m ∩ n).

Фронтальна пряма площини (h ∆, h || П₂) (рис. 2.42 а)

Усі точки фронталі мають однакові глибини, тому на ортогональному рисунку (рис. 2.42 б) горизонтальна проекція f₁ фронталі f₂ паралельна фронтальному сліду площини (f f) або ж проходить через проекції 1₁ і 2₁ точок 1 і 2 перетину з прямими а і в (рис. 2.42 в), які визначають площину ∆ (а∩в).

 

Рис. 2.41

Рис. 2.42

Практичне завдання

1) за заданими координатами точок А, В, С побудувати ортогональне креслення відрізка АВ та точки С;

2) визначити горизонтальний (H) і фронтальний (F) сліди прямої АВ;

3) визначити дійсну довжину відрізка АВ;

4) величину кутів a та b нахилу прямої АВ до площин проекції П₁ і П₂;

5) пряму n, котра проходить через точку С паралельно прямій АВ;

5) пряму горизонтального (h) та фронтального (f) рівня, яка проходить через точку С та перетинає пряму АВ.