Площинна модель координатних площин проекцій

Користуватись просторовим макетом (рис. 2.5) координатних площин проекцій геометричних фігур дуже незручно, оскільки він громіздкий. Крім того, на площинах П₁ і П₃ відбувається спотворення форми і розмірів зображуваної фігури. Тому в практиці користуються так званим е п ю р о м – плоским зображенням, яке складається з двох і більше пов’язаних між собою прямокутних проекцій геометричної фігури.

Рис. 2.5 Рис. 2.6 Рис. 2.7

 

Епюр одержують шляхом суміщення площин П₁ і П₃ з П₂.

Щоб сумістити площину П₁ з П₂, обертають її на 90^○ навколо осі x₁₂ в напрямку руху годинникової стрілки (рис. 2.5), а площину П₃ – навколо осі – навколо осі z₂₃ у напрямку, протилежному руху годинникової стрілки. Разом з площинами проекцій буде переміщуватися і вісь y₁₃. Після суміщення вісь y₁, яка належить П₁, співпаде з віссю - z₂₃, а y₃ – з x₁₂. Після такого перетворення просторовий макет координатних площин набуде вигляду згідно з рис. 2.6.

Враховуючи, що площини проекцій не мають меж, на епюрі їх не показують. Немає необхідності також позначати площини проекцій і від’ємний напрямок координатних осей. Остаточно епюр набуде вигляду, наведеного на рис. 2.7.

 

Проекція точки. Нехай точка А віднесена до взаємно перпендикулярних координатних площин проекцій (рис. 2.8). Положення такої точки визначається трьома координатами (x,y,z), тобто відстанями, на які вона віддалена від площин проекцій. Отже, щоб визначити ці відстані, необхідно через точку А провести перпендикулярно до проекцій прямі та знайти точки А₁, А₂ і А₃ перетину їх з площинами П₁, П₂ і П₃. Відрізки AA₁, (рис. 1.8) AA₂, і AA₃ є координатами z, y, x. Отже: AA₃ = O₁₂₃ Ax – абсциса точки А (координата x); AA₂ = O₁₂₃ Ay – ордината точки А (координата y);

AA₁ = O₁₂₃ Az – апліката точки А (координата z).

Точки А₁, А₂, А₃ називають прямокутними проекціями точки А:

А₁ – горизонтальна проекція;

А₂ – фронтальна проекція;

А₃ – профільна проекція.

Прямі АА₁, АА₂, АА₃ називаються проектуючими прямими: AA₁ – горизонтально проектуючa пряма; AA₂ – фронтально проектуюча пряма; АА₃ - профільно проектуюча пряма.

Площини АА₁AxA₂, AA₁AyA₃ і AA₂AzА₃ називають проектуючими площинами.

Рис. 2.8 Рис. 2.9

Просторовий макет (рис. 2.8) перетворимо в епюр (рис. 2.9).При цьому фронтальна проекція А₂ залишається на місці, оскільки знаходиться в площині П₂, яка залишається нерухомою в перетворені, що розглядається. Горизонтальна проекція А₁ разом з горизонтальною площиною П₁ опуститься вниз і розташується на одному перпендикулярі до осі х_{1 2} з фронтальною проекцією А₂.

Профільна проекція А₃ буде обертатися разом з площиною П₃ і після перетворення розташується на перпендикулярі до осі z₂₃ разом з фронтальною проекцією А₂.

Зв’язок між горизонтальною і фронтальною проекціями точки установлюється за допомогою ламаної А₁А₀А₃, вершина якої А₀ знаходиться на бісектрисі кута, утвореного осями y₁ і y₃. Бісектрису К₀ називають постійною прямою епюра Монжа.

Зображена на рис. 2.9 площинна модель (епюр) несе таку саму інформацію, яку маємо і в просторовому макеті.

Розглянувши рис. 2.9, виділимо такі закони проекційного зв’язку:

1. Фронтальна і горизонтальна проекції будь-якої точки знаходяться на одному перпендикулярі до осі x₁₂ (вертикальній лінії проекційного зв’язку).

2. Фронтальна і профільна проекції будь-якої точки знаходяться на одному перпендикулярі до осі z₂₃ (горизонтальній лінії проекційного зв’язку).

3. Горизонтальна і профільна проекції будь-якої точки пов’язані однією і тією самою ординатою y (горизонтально-вертикальною лінією проекційного зв’язку, або ламаною з вершиною на постійній прямій епюра Монжа).

 

Точки нульового рівня. Розглянемо побудову проекцій точок, які належать площині проекцій. Нехай маємо точки А(30,40,0); В(350,0,20) і С(0,25,50). Побудуємо епюр цих точок (рис.2.10). За рис. 2.10 виявляємо:

1. Якщо точка має координату z = 0, то вона належить площині П₁ та її горизонтальна проекція збігається з самою точкою, а фронтальна і профільна проекції будуть належати відповідно осям x₁₂ і y₃ (точка А). Тобто, якщо А є П_{1 ,} то А₁ = А і А₂ є Х₁₂, А₃ є Y₃.

1. Якщо точка має координату y = 0, то вона належить площині П₂ та її профільна проекція збігається з самою точкою, а горизонтальна і профільна проекції будуть належати відповідно осям x₁₂ i z₂₃ (точка В). Тобто, якщо В є П₂, то В₂ = В і В₁ є x_{12 ,} В є z₂₃.

Рис. 2.10

3. Якщо точка має координату х = 0, то вона належить площині П₃ і її профільна проекція збігається з самою точкою, горизонтальна і профільна проекції будуть відповідно належати осям y₃ і z₂₃ (точка С). Тобто, якщо С є П₃, то С₃ = С і С₁ є y₁, С₂ є z₂₃..

 

 

Пряма

 

Визначником прямої лінії в просторі є дві точки, що не збігаються, точка і напрям, дві площини, що перерізуються.