Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл

Поняття про площу поверхні та об’єм тіла.

Площа поверхні многогранника, призми, піраміди

 

Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі бічної поверхні та площі двох основ:

S_повн=S_б+2S_осн

де S_осн – площа основи; S_б – площа бічної поверхні (сума площ усіх бічних граней); S_повн – площа повної поверхні.

Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметру перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра

S_б=P_перп l

де l – довжина бічного ребра, P_перп – периметр перпендикулярного перерізу.

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметру основи на висоту

S_б=P_осн Н

Прямокутний паралелепіпед

Площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на

висоту

S_б=2(а+b)c

Площа повної поверхні дорівнює сумі площ шести прямокутників

S_повн=2(ab+ac+bc)

Куб

Площа повної поверхні куба

S_повн=6a²

Піраміда

Повна поверхня піраміди складається з основи та n бічних граней (відповідно до кількості вершин основи)

S_повн=S_б+ S_осн

Для правильної піраміди

Площа бічної поверхні дорівнює половині добутку периметра основи на довжину апофеми

S_б=1/2 P_оснl

Площі основи і бічної поверхні правильної піраміди відносяться як косинус кута між бічною гранню та площиною основи:

S_осн/S_б=cosj

Для зрізаної піраміди

Повна поверхня зрізаної піраміди складається з бічної поверхні та двох основ:

S_повн= S_б+S₁+S₂

де S₁ і S₂ – площі основ.

Для правильної зрізаної піраміди

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів її основ на апофему S_б=1/2(P₁+P₂) l

Об’єм призми та піраміди

Об’єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту H

V= S_оснH

Об’єм призми дорівнює добутку площі перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра l

V=S_перпl

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів

V=a b c

 

Об’єм куба дорівнює третьому степеню (кубу) довжини його ребра

V=a³

 

Об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту

V= 1/3 S_осн H

 

Площа поверхні циліндра, конуса, кулі

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола основи на висоту циліндра

S_б=2πRH

Повна поверхня циліндра складається з бічної поверхні та двох основ

S_повн=2πR(H+R)

Площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини кола основи на його твірну

S_б=πRl

Повна поверхня конуса складається з бічної поверхні та основи

S_повн=πR(l+R)

Площа сфери

S=4πR²

 

Об’єм циліндра, конуса, кулі

 

Об’єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту

V=πR²H

 

Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту

V=1/3 πR²H

 

Об’єм кулі

V=4/3 πR³

Домашнє завдання

Частина перша

4.1 Обчисліть площу бічної поверхні прямої призми, основа якої трикутник зі сторонами 20 см, 24 см і 26 см, а бічне ребро дорівнює 6 см.

4.2 Обчисліть площу бічної поверхні прямої призми, основою якої є паралелограм зі сторонами 10 см і 12 см, а бічне ребро дорівнює 10 см.

4.3 Обчисліть площу бічної поверхні прямої призми, основою якої є ромб зі стороною 8 см, а висота призми дорівнює 6 см.

4.4 Обчисліть об’єм призми, основою якої є паралелограм зі сторонами 16 см і 14 см та кутом 45 , а висота призми дорівнює см.

4.5 Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 14 см, а її бічне ребро см. Обчисліть об’єм призми.

4.6 Обчисліть об’єм правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює 12 см, а висота – 14 см.

4.7 Обчисліть площу бічної поверхні правильної п’ятикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6 см, а апофема – 10 см.

4.8 Обчисліть площу бічної поверхні правильної восьмикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 18 см, а апофема – 22 см.

4.9 Обчисліть об’єм піраміди, основою якої є прямокутник зі сторонами 26 см і 30 см, а висота піраміди дорівнює 25 см.

4.10 Обчисліть площу бічної поверхні правильної шестикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 4 см, а апофема – 5 см.

4.11 Обчисліть об’єм піраміди, основою якої є ромб з діагоналями 5 см і 9 см, а висота піраміди дорівнює 10 см.

4.12 Обчисліть об’єм піраміди, основою якої є паралелограм зі сторонами 8 см і 10 см та кутом 45 між ними, а висота піраміди дорівнює 18 см.

4.13 Обчисліть площу бічної поверхні циліндра, осьовим перерізом якого є квадрат зі стороною 8 см.

4.14 Чому дорівнює площа бічної поверхні циліндра, діаметр основи якого дорівнює 4 см, а твірна – 9 см?

4.15 Обчисліть площу бічної поверхні циліндра, висота якого дорівнює14 см, а радіус основи – 4 см.

4.16 Обчисліть об’єм циліндра, висота якого дорівнює 6 см, діаметр основи 4см.

4.17 Обчисліть об’єм циліндра, радіус основи якого дорівнює 7 см, а твірна 5 см.

4.18 Чому дорівнює висота циліндра, об’єм якого становить см³, а радіус основи дорівнює 2 см?

4.19 Обчисліть площу бічної поверхні конуса, твірна якого дорівнює 8 см, а радіус основи – 10 см.

4.20 Обчисліть площу бічної поверхні конуса, діаметр основи якого дорівнює 12 см, а твірна – 17 см.

4.21 Обчисліть площу бічної поверхні конуса, радіус основи якого дорівнює 3см, а твірна у 3 рази більша за радіус.

4.22 Обчисліть об’єм конуса, висота якого дорівнює 8 см, а радіус основи 9 см.

4.23 Радіуси основ циліндра і конуса рівні, висота циліндра дорівнює 8 см, а конуса – 6 см. Знайдіть відношення об’єму циліндра до об’єму конуса.

4.24 Обчисліть об’єм конуса, висота якого дорівнює 6 см, а радіус основи 5 см.

4.25 Висота конуса дорівнює 9 см, а його об’єм - 6π см³. Чому дорівнює площа основи конуса?

4.26 Чому дорівнює об’єм конуса, радіус основи якого , а висота дорівнює радіусу основи?

4.27 Чому дорівнює площа поверхні кулі, радіус якої дорівнює 6 см?

4.28 Чому дорівнює площа поверхні кулі, діаметр якої дорівнює 6см?

4.29 Знайдіть відношення площ поверхонь двох сфер, радіуси яких дорівнюють 5 см і 10 см.

4.30 Обчисліть об’єм кулі з радіусом 6 см.

4.31 Радіус однієї кулі у 2 рази більший за радіус другої кулі. Чому дорівнює об’єм кулі більшого радіуса, якщо об’єм кулі меншого радіуса дорівнює 1 см ?

4.32 Об'єм першої кулі у 27 разів більший за об’єм другої кулі. Чому дорівнює радіус першої кулі, якщо радіус другої кулі дорівнює 1 см?

4.33 Чому дорівнює радіус кулі, об’єм якої становить 36 см ?

Частина друга

4.34 Основа прямої призми – ромб з діагоналями 20см і 48 см. Менша діагональ призми дорівнює 52 см. Обчисліть площу бічної поверхні призми.

4.35 Основа прямої призми – прямокутний трикутник із катетом 12 см і гострим кутом 45°. Об’єм призми дорівнює 216 см³. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

4.36 Основа прямої призми – ромб з гострим кутом 30°. Діагональ бічної грані утворює з площиною основи кут 30°. Знайдіть об’єм призми, якщо її висота дорівнює 16 см.

4.37 Основа прямої призми — ромб з гострим кутом 45°. Діагональ бічної грані дорівнює 10 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть об’єм призми.

4.38 Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 12 см, а діагональний переріз є рівностороннім трикутником.

4.39 Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а апофема 5 см. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди.

4.40 Знайдіть об’єм правильного тетраедра, ребро якого дорівнює 8 см.

4.41 Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 12 см, а висота піраміди - 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

4.42 Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо його висота дорівнює діаметру основи.

4.43 У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно з центра нижньої основи під кутом 90°, а з центра верхньої основи – під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 4 см.

4.44 В основі конуса проведено хорду завдовжки см на відстані 4 см від центра основи. Знайдіть об’єм конуса, якщо його твірна нахилена до площини основи під кутом 60°.

4.45 Висота конуса дорівнює 20 см, а відстань від центра його основи до твірної 12 см. Знайдіть об’єм конуса.

4.46 Об'єм конуса дорівнює см , висота – 12 см. Обчисліть площу бічної поверхні конуса.

4.47 Площа повної поверхні конуса дорівнює 200 см , а його твірна – 17 см. Знайдіть об’єм конуса.

4.48 Катет прямокутного трикутника дорівнює а, а прилеглий кут дорівнює . Знайдіть площу бічної поверхні конуса, утвореного при обертанні цього трикутника навколо даного катета.

4.49 Переріз кулі площиною, яка віддалена від її центра на 15 см, має площу см . Знайдіть площу поверхні кулі.

4.50 Довжина лінії перетину сфери і площини, яка віддалена від її центра на 12 см, дорівнює см. Знайдіть площу сфери.

4.51 Через кінець радіуса кулі проведено переріз, який утворює з цим радіусом кут 30°. Знайдіть площу поверхні кулі, якщо площа перерізу дорівнює 36 см .

 

Частина третя

4.52 Основа прямої призми – ромб з більшою діагоналлю d і гострим кутом . Через меншу діагональ нижньої основи і вершину гострого кута верхньої основи проведено переріз, який утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм призми.

4.53 Через сторону нижньої основи і середину протилежного бічного ребра правильної трикутної призми проведено переріз під кутом 45° до площини основи. Знайдіть об’єм призми, якщо площа перерізу дорівнює см .

4.54 Бічна грань правильної чотирикутної піраміди нахилена до площини основи під кутом . Відрізок, який сполучає середину висоти піраміди і середину апофеми, дорівнює а. Знайдіть об’єм піраміди.

4.55 Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з бічною стороною а і кутом при основі. Бічна грань піраміди, що містить основу цього трикутника, перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом . Знайдіть об’єм піраміди.

4.56 Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює . Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм піраміди.

4.57 Хорду нижньої основи циліндра видно із центра цієї основи під кутом . Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою даної хорди, нахилений до площини основи під кутом . Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус основи дорівнює R.

4.58 У нижній основі циліндра проведено хорду, довжина якої дорівнює b. Цю хорду видно із центра нижньої основи під кутом , а відрізок, який сполучає центр верхньої основи із серединою проведеної хорди, утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм циліндра.

4.59 У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно із центра цієї основи під кутом . Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою цієї хорди, дорівнює l і утворює з площиною основи кут . Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

4.60 Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює , проведено переріз, який утворює з площиною основи конуса кут . Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо його висота дорівнює Н.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Погорєлов О.В. Геометрія: Стереометрія: Підручник для 10 – 11 кл. серед.школи.-3-тє видання.-Київ: Освіта, 1997. – 128 с.

2. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. 11клас. У 2 книгах. Кн. 1 / М.І.Бурда, О.Я.Біляніна, О.П.Вашуленко та ін. – Харків, „Гімназія”, 2008, – 224 с.

3. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. 11клас. У 2 книгах. Кн. 2 / М.І.Бурда, О.Я. Біляніна, О.П.Вашуленко та ін. – Харків, „Гімназія”, 2008, – 224 с.