Линейные операции над векторами. Свойство этих операций

Линейные операции над векторами. Свойство этих операций

 

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на число.

1) Сложение векторов:

· Правило треугольника: суммой векторов и , расположенных так, что начало совпадает с концом , называется такой , начало которого совпадает с началом , а конец – с концом .

· Правило треугольника: суммой векторов и , расположенных так, что начала и совпадают, называется , который равен диагонали параллелограмма (одна точка которой является началом и ), построенного на векторах и .

· Правило многоугольника: применяется, если нужно найти сумму трех или большего числа векторов.
NB! Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

· Вычитание векторов*: разностью векторов и , расположенных так, что начало совпадает с началом , называется такой вектор , начало которого является концом , а конец – концом

Свойства:

§ - коммуникативность

§

§ – ассоциатисность

§

2) Умножение вектора на число.

Произведение на число L называется такой , что . Если L>0, тогда направление совпадает с направлением , а если L<0, тогда вектора - противонаправлены.

Свойства:

§ - дистрибутивность

§ - дистрибутивность

§ - ассоциативность

§

§

 

Проекция вектора на ось. Их свойства

Проекцией вектора, лежащего на оси, на эту ось называется число, по модулю равное длине вектора и взятое со знаком «+», если направление вектора совпадает с направление оси, и со знаком «-», если они противоположны.

 

Пусть не лежит на оси, тогда из точек А и В опускаются перпендикуляры на ось: получаются точки . Вектор называется компонентой вектора по оси L.

Проекцией вектора, не лежащего на оси, на эту ось называется проекция его компоненты на эту ось.

пр _L – проекция вектора на ось L.

 

– разложение вектора на компоненты по координатным осям.

- длина вектора, выраженная через его координаты.

Радиус-вектор – вектор, начало которого находится в начале координат. Имеет координаты: .

Углом между и осью L называется наименьший угол между направлением и положительным направлением оси L.

Теорема: проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между ними.

пр _L

Направляющие косинусы – косинусы углов, которые вектор составляет с осями координат.

Теорема: проекция суммы векторов на ось равно сумме проекций этих векторов на эту ось.

Теорема: расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат.

Теорема: при умножении вектора на число L его проекция так же умножается на L.

Теорема: для того, чтобы два вектора были равны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции на любую ось были равны.

 

Линейная зависимость и независимость векторов. Базис пространства

Пусть имеется n-векторов и n-постоянных с₁,с₂ ….с_n.

- линейная комбинация.

 

Векторы называются линейнозависимыми:

1) если существует такие с₁,с₂ ….с_n, из которых хотя бы одно не равно нулю, что линейная комбинация равна нулю.

2) если хотя бы один вектор из этой системы можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

Векторы называются линейнонезависимыми:

1) если линейная комбинация равно нулю тогда и только тогда, когда с₁=с₂=…=с_n=0.

2) если ни один из этих векторов нельзя представить в виде линейных комбинаций остальных.

Три ненулевых вектора называют компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Декартов базис. Длина вектора в декартовом базисе

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

 

ДСК:

· ортонормированный базис;

· тройка – правая;

· - линейнонезависимы.

 

– координаты вектора

– длина вектора, выраженная через его координаты

Выражение скалярного произведения через координаты

 

 

 

Механический смысл

Механическая работа.

 

Механический смысл

Момент силы .

 

Геометрический смысл

Линейные операции над векторами. Свойство этих операций

 

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на число.

1) Сложение векторов:

· Правило треугольника: суммой векторов и , расположенных так, что начало совпадает с концом , называется такой , начало которого совпадает с началом , а конец – с концом .

· Правило треугольника: суммой векторов и , расположенных так, что начала и совпадают, называется , который равен диагонали параллелограмма (одна точка которой является началом и ), построенного на векторах и .

· Правило многоугольника: применяется, если нужно найти сумму трех или большего числа векторов.
NB! Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

· Вычитание векторов*: разностью векторов и , расположенных так, что начало совпадает с началом , называется такой вектор , начало которого является концом , а конец – концом

Свойства:

§ - коммуникативность

§

§ – ассоциатисность

§

2) Умножение вектора на число.

Произведение на число L называется такой , что . Если L>0, тогда направление совпадает с направлением , а если L<0, тогда вектора - противонаправлены.

Свойства:

§ - дистрибутивность

§ - дистрибутивность

§ - ассоциативность

§

§