Проекция вектора на ось. Их свойства

Проекцией вектора, лежащего на оси, на эту ось называется число, по модулю равное длине вектора и взятое со знаком «+», если направление вектора совпадает с направление оси, и со знаком «-», если они противоположны.

 

Пусть не лежит на оси, тогда из точек А и В опускаются перпендикуляры на ось: получаются точки . Вектор называется компонентой вектора по оси L.

Проекцией вектора, не лежащего на оси, на эту ось называется проекция его компоненты на эту ось.

пр _L – проекция вектора на ось L.

 

– разложение вектора на компоненты по координатным осям.

- длина вектора, выраженная через его координаты.

Радиус-вектор – вектор, начало которого находится в начале координат. Имеет координаты: .

Углом между и осью L называется наименьший угол между направлением и положительным направлением оси L.

Теорема: проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между ними.

пр _L

Направляющие косинусы – косинусы углов, которые вектор составляет с осями координат.

Теорема: проекция суммы векторов на ось равно сумме проекций этих векторов на эту ось.

Теорема: расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат.

Теорема: при умножении вектора на число L его проекция так же умножается на L.

Теорема: для того, чтобы два вектора были равны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции на любую ось были равны.

 

Линейная зависимость и независимость векторов. Базис пространства

Пусть имеется n-векторов и n-постоянных с₁,с₂ ….с_n.

- линейная комбинация.

 

Векторы называются линейнозависимыми:

1) если существует такие с₁,с₂ ….с_n, из которых хотя бы одно не равно нулю, что линейная комбинация равна нулю.

2) если хотя бы один вектор из этой системы можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

Векторы называются линейнонезависимыми:

1) если линейная комбинация равно нулю тогда и только тогда, когда с₁=с₂=…=с_n=0.

2) если ни один из этих векторов нельзя представить в виде линейных комбинаций остальных.

Три ненулевых вектора называют компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Базис на плоскости и в пространстве

Совокупность любых двух линейнонезависимых векторов, принадлежащих данной плоскости, называется базисом этой плоскости.

NB! Любой вектор, лежащий в этой плоскости, можно выразить через эти два вектора.

– базис плоскости

 

Совокупность любых трех линейнонезависимых векторов, называется базисом пространства.

– базис пространства.

Базис в пространстве, векторы которого попарно-перпендикулярны, и длины которых равны единице, называются ортонормированным.

Тройка векторов называется правой, если при наблюдении с конца вектора кратчайший поворот от происходит против часовой стрелки.

Тройка векторов называется левой, если при наблюдении с конца вектора кратчайший поворот от происходит по направлению часовой стрелки.

 

Декартов базис. Длина вектора в декартовом базисе

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

 

ДСК:

· ортонормированный базис;

· тройка – правая;

· - линейнонезависимы.

 

– координаты вектора

– длина вектора, выраженная через его координаты

Скалярное произведение. Выражение скалярного произведения через координаты. Физический смысл скалярного произведения

Скалярным произведением и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

() - обозначение

NB! .

 

Свойства скалярного произведения:

·

·

·

·

·

Теорема: для того, чтобы два ненулевых вектора были ортогональны (перпендикулярны), необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Выражение скалярного произведения через координаты

 

 

 

Механический смысл

Механическая работа.