Скалярное, векторное и смешанное

произведения векторов

 

 

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(2,6,–3).

17. Два вектора =(2,–3,6) и =(–2,1,2) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора + ;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что .

18. Найти проекцию вектора (2,-3,4) на направление вектора = .

19. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.

20. В выпуклом четырехугольнике ABСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что , | ВО |=1, | ДО |=4, .

Найти величину угола между векторами и , используя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке О так, чтобы ось была направлена по диагонали (построение четырехугольника нужно начинать с построения диагонали АС и ВD, причем диагональ АС удобнее расположить горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С и D;

в) найти координаты векторов и ,

г) найти по формуле ,

д) подсчитать искомый угол по формуле = arccos ,

21. Найти координаты вектора , если , и , где , , .

22. Дано , , , . Найти и

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину ,если

24. Даны вершины треугольника АВС: А(0,2,3), В(-2,1,-3), С(0,3,-2). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вычислить , если =5, ()=16.

26. Вектор ортогонален векторам и и составляет с осью Oy тупой угол. Найти координаты вектора если и =20.

27. Вычислить смешанное произведение векторов , ,

28. Установить, компланарны ли векторы , , .

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), D(-5,-4,8).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить , если , , , , а тройка векторов – правая.

 

4. Аналитическая геометрия в пространстве:

плоскость и прямая в пространстве;

поверхности второго порядка

 

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости: 2 .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости .

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно двум плоскостям: , .

35. Найти расстояние от точки до плоскости .

36. На оси Оу найти координаты точек, отстоящих от плоскости , на расстоянии d =4.

37. Даны вершины треугольника А(3,-1,-1), В(1,2,-7), С(-5,14,–3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельной прямой , у =5 t -1, z = t +2.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости

40. Найти проекцию точки на прямую х =3 t, y =5 t -7, z =2 t +2.

41. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .

42. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

43. Вычислить расстояние от точки от прямой .

44. Составить уравнение прямой a, которая проходит через точку перпендикулярно вектору и пересекает прямую l ₁, , используя последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М₀ с нормальным вектором ;

б) найти координаты точки М₁ пересечения прямой l₁, с плоскостью П (см. задачу 39);

в) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1,2,3), А₂(3,2,1), А₃(2,3,3), А₄(4,1,2). Найти:

1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , 4z =y², 2x-y=0, x+y=9,

б) , x²+y²=z, x²+y²=4.

 

5. Элементы линейной алгебры: МЕТОД ГАУССА

РЕШЕНИЯ системы линейных уравнений;

ФОРМУЛЫ КРАМЕРА; матрицы; МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ;

линейное векторное пространство;

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ (НЕЗАВИСИМОСТЬ)

СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ; линейные операторы;

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ

ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

 

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

 

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

 

А= , В= , С= .

50. Найти ранги матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

52. Являются ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (а,в,с, о)?

б) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (а,в,с, 1)?

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(7,-2, ), =(1,-6,1), =(3,7,8), =(2,3,5).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой?

=(2,1,3,4), =(4,2,1,3), =(5,1,3,2), =(2,4,3,5).

 

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид:

а) ; б)

56. Является ли оператор : , где , линейным? Если да, найти его матрицу в базисе .

57. Линейный оператор на плоскости хОу зеркально отражает все векторы относительно оси Оу, а линейный оператор проецирует все векторы плоскости на прямую . Найти матрицы операторов и в базисе .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .

 

ОТВЕТЫ:

 

1. , 2. Уравнение медианы: , уравнение высоты .

3.М₁(10,-5). 4. D (-3,1). 5. (2,-1) и (3,1). 6. , , .

7. , , . 8. 5 кв. ед. 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 5. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 1. 5) окружность с центром и радиусом 2. 6) окружность с центром и радиусом 3.

10. Гипербола , , полуоси , , .

11. . 12. Парабола . 13. б), в) правая ветвь гиперболы . 14. а) 26, б) –7, в) –3, г) 16.

15. . 16. . 17. а) , , б) , в) . 18. . 19. . 20. . 21. . 22. , .

23. , . 24. , . 25. . 26. 27. 25. 28. Компланарны. 29. . 30. .

31. . 32. . 33. .

34. . 35. . 36. (0,7,0) и (0,-5,0). 37. .

38. . 39. . 40. . 41.Q(-5,1,0).

42. Q(1,-6,7). 43. . 44. .

45. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

47. , . 48. , где .

49. , , ,

 

. 50. а) , б) . 51. , , .

52. а) да, б) нет. 53. . 54.нет. 54. а) Отражение относительно плоскости , б) pастяжение в три раза вдоль оси . 56. Оператор линейный; – его матрица в базисе .

57. , . 58. Собственные значения: , , , собственные векторы: для , где , для , где , для , где .

 

ВАРИАНТ 2

 

 

1.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: