Векторное и смешанное произведения векторов

 

 

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(2,-3,-6).

17. Два вектора =(2,-1,2) и =(–2,3,6) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора + ;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что .

18. Найти проекцию вектора =(5;3;-1) на направление вектора .

19. Найти проекцию вектора =(2,–3,-5) на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.

20. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что .Найти величену угла между векторами и используя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат ХОУ с началом в точке О так, чтобы ось Ох была направлена по диагонали АС (построение четырехугольника нужно начинать с построения диагоналей АС и ВD, причем диагональ АС удобнее расположить горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С,D;

в) найти координаты векторов и ;

г) найти по формуле

д) подсчитать искомый угол по формуле

21. Найти координаты вектора , если где .

22. Дано Найти и

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину , если =(2,-1,3), (i-3k).

24. Даны вершины треугольника А(2,3,1), В(1,1,-2) и С(2,0,-2). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вычислить если .

26. Вектор ортогонален векторам =(2,2,-2) и =(-1,3,-1) и составляет с осью Оу тупой угол. Найти координаты вектора , если и

27. Вычислить смешанное произведение векторов

28.Установить, компланарны ли векторы

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А(10,6,6), В(-2,8,2), С(6,8,9), D(7,10,3).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить , если , , , , а тройка векторов – правая.

 

4. Аналитическая геометрия в пространстве:

плоскость и прямая в пространстве;

Поверхности второго порядка

 

 

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости .

 

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости .

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно двум плоскостям: и .

35. Найти расстояние от точки до плоскости .

36. На оси Оу найти координаты точек, отстоящих от плоскости на расстоянии d=2.

37. Даны вершины треугольника А(1-2,-2), В(3,-1,0), С(-3,2,2). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой , , .

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

40. Найти проекцию точки Р(4,1,5) на прямую х=3t+2; у=5t-5; z=2t+4.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(4,6,-1) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2,5,-2) относительно плоскости .

43. Вычислить расстояние точки Р(3,1,0) от прямой .

44. Составить уравнение прямой l, которая проходит через точку М₀ (1,4,-1) перпендикулярно вектору и пересекает прямую l₁: используя последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М₀ с нормальным вектором ;

б) найти координаты точки М₁ пересечение прямой l₁ с плоскостью П (см. задачу 39);

в) составить кононические уравнения прямой, проходящей через точки М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(2,2,4), А₂(4,2,2), А₃(3,3,4), А₄(5,1,3). Найти:

1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) ,

б) х=0, у=0, z=0, , x+y=1

 

5. Элементы линейной алгебры: метод гаусса.

решения системы линейных уравнений;

формулы крамера; матрицы; мАтричные уравнения; линейное векторное пространство;

линейная зависимость (независимость)

системы векторов; линейные операторы;

собственные векторы и собственные

значения линейного оператора

 

 

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А= , В= , С= .

50. Найти ранг матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

52. Является ли вещественным линейным пространствоми:

а) множество всех векторов из арифметичекого пространства R₄ вида (а;0;0;в)?

б) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (а;1;1;в)?

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(2, 1, ), =(1, 2, 3), =(2, 1, 3), =(3, 5, 8).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 2, -1, -1), =(2, 1, 2, 1), =(1, –1, 2, 0).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R₃, матрицы которых относительно некоторого прямоугольника имеют вид:

а) ; б) .

56. Является ли оператор где линейным? Если да, найт его матрицу в базисе (

57. Линейный оператор на плоскости XOY зеркально отрожает все векторы относительно оси ОХ, а линейный оператор проецирует все векторы плоскости на прямую у= . Найти матрицы операторов и в базисе (.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преоразования, заданного в некотором базисе матрицей .

 

ответы:

1. . 2. Уравнение медианы: 4х-у-22=0; уравнение высоты: 3х-2у-19=0. 3. М₁(8;-3). 4.Д(-4;0). 5.(4; -1) и (5;1). 6. 4х-у-10=0, х-4=0, х+8у+14=0.

7. , , , 8. 45 кв.ед. 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 6. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом 3\4 . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок а=6; 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 5. 5) окружность с центром и радиусом 5. 6) окружность с центром и радиусом 6. 10. Гипербола , , полуоси , , . 11. . 12. Парабола: (у+2)²=8(х+5). 13. в) Правая ветвь гиперболы . 14. а) -11, б) -52, в) –9, г) -8. 15. . 16. . 17. а) , ,б) , в) . 18. 19. 2 . 20.arccos(. 21. . 22. .

23. , . 24. , .

25. . 26. (-3,-3,-6). 27. -10. 28. Компланарны. 29. V=33 куб.ед.. 30. 18. 31. . 32. . 33. . 34. . 35. . 36. (0,-1,0), и (0,5,0).

37. . 38. . 39.(1,6,1). 40.(5,0,6). 41. Q(-2,3,4). 42. Q(2,-3,6). 43. . 44. . 45. 1) ,

2) , 3) ,

4) , 5) . 47. , где .

48. , где .

49. , , ,

. 50. а) , б) . 51. , , .

52. а) да, б) нет. 53. . 54. нет. 55. а) проектирование векторов на плоскость хОу,с последующим отражением векторов – проекций относительно начала координат; б) отражение относительно начала координат. 56. Оператор линейный;

– его матрица в базисе ().

57. , . 58. Собственные значения: , . Собственные векторы: для , где , - любые вещественные числа, не равные одновременно нулю; для , где .

 

 

Вариант 6

 

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ:

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ;

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

 

1. Доказать, что точки А(2,2), В(-1,6), С(-5,3) и D(-2,-1) являются вершинами квадрата.

2. Даны вершины треугольника А(1;-1), В(-2;-1), С(3;5). Составить уравнения перпендукуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведеную из вершины В.

3.Найти координаты точки М₁, симметричной точке М₂(6;-3) относительно прямой, проходящей через точки А(1;2) и В(2,-3).

4. Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3,3), В(1,5) и точка пересечения его диаганалей М(1;1). Определить координаты двух других вершин.

5. Отрезок, ограниченный точками А(2;-5) и В(-1,-2), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х+2у-7=0, 5х+2у - 36=0 и уравнения его диагонали 3х+7у-10=0. Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

7. Даны две вершины А(-4;2) и В(4,-2) и точка D(3,2) пересечение высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

8. Найти расстояние от точки М(-4;2) до прямой, проходящей через точки А(-1,2) и В(1,6),

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Точка М₁(2,-2) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой у+7=0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет .

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(1,5) и от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

 

2. Определители. Базис в пространстве.

Координаты вектора

 

 

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

 

а) , б) , в) , г) .

 

15. Даны векторы: ₁=(-1,2,1); ₂=(1,0,-3); ₃=(2,-3,0), =(0,3,-6) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

 

 

3. Линейные операции над векторами.

Проекция вектора на ось.