Векторы и собственные значения

Линейного оператора

 

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

x₁-2x₂+x₃-x₄=0;

x₁-x₂+2x₃+2x₄=0;

2x₁+x₂-2x₃+x₄=0

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей: .

49. Найти матрицу 3ВА^-1+2СВ^Т, где А= , В= , С=

50. Найти ранги матриц:

а) б)

 

51. Дана система линейных уравнений:

x₁+8x₂+5x₃=9:

2x₁-4x₂-3x₃=-1;

-x₁+9x₂+4x₃=1

 

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) средствами матричного исчесления,

3) по формулам Камера.

 

52. Являются ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (О; а; в, с)?

б) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (2; а, в, с)?

 

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если

54. Выяснить, является ли даная система векторов из R₄ линейно зависимой?

55. Выяснить геомтрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R₃ матрицы которых оносительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид:

а) б)

 

56. Является ли оператор где , линейным? Если да, найти его матрицу в базисе .

57. Линейный оператор на плоскости ХОУ зеркально отражает все векторы относительно оси ОХ, а линейный оператор проецирует все векторы плоскости на прямую . Найти матрицы операторов и в базисе .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

 

ОТВЕТЫ:

 

1. . 2. Уравнение медианы: 4х–у–10=0, уравнение высоты: 3х–2у–5=0.

2. (8,-7). 4. D(-1,2). 5. (3,0) и (4,2). 6. 4х-у-7=0, х-4=0, х+8у-10=0. 7. х+3у+3=0,

3х-у+7=0, 3х-у-5=0. 8. 125 кв. ед. 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 3; 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом ; 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок а =3; 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от неее на расстоянии равном 2; 5) окружность с центром r = 1) и радиусом 1; 6) окружность с центром r = 2) и радиусом 2. 10. Гипербола: , С(-2,1)

полуоси: а=2, в=3, . 11. . 12. Парабола: (у-1)²=12(х-1). 13. Левая ветвь гиперболы: . 14. а) -26, б) –30 в) –18, г) 8. 15. в=(2,3,1). 16. . 17. а) , , б) , в) . 18. . 19. . 20. . 21. . 22. . 23. , . 24. ,

25. . 26. . 27. 11. 28. Компланарны. 29. . 30. . 31. x+2у+2z=0. 32. 13х-10у-z-7=0. 33. 11x-10y-4z-52=0.

34. x+2y-z-9=0. 35. . 36. (0,-10,0) и (0,8,0). 37. .

38. . 39. (1, 4, -13). 40. (3,3,2). 41. (4,10,-1). 42. (-2,-6,-1). 43. 3. 44. . 45. 1) , 2) , , 4) х-у+z-3=0, 5) . 47. , где . 48. где . 49. , , , . 50. а) , б) . 51. , , . 52. а) да, б) нет. 53. . 54. да.

55. а) отражение относительно плоскости ХОZ, б) растяжение в два раза вдоль оси ОУ. 56. Оператор линейный; – его матрица в базисе .

57. , . 58. Собственные значения: , , , собственные векторы: для , , где ,

для , , где , для , , где .

 

ВАРИАНТ 3

 

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ:

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ;

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

 

 

1. Доказать, что треугольник с вершинами А₁(0;3), А₂(1;5), А₃(4;1) прямоугольный.

2. Даны вершины треугольника А(3;-1), В(-1;-3), С(5;-7). Составить уравнения его медианы и высоты, проведенных из вершины А.

3.Найти координаты точки М₁, симметричной точке М₂(4;-5) относительно прямой, проходящей через точки А(-1;0) и В(-5;2).

4. Даны три вершины параллелограмма А(4;-3), В(6;-1), С(0;5). Определить координаты четвертой вершины D, противоположной В.

5. Отрезок, ограниченный точками А(0;-4) и В(3;2), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны две вершины А(3;-3), В(5;5) треугольника АВС и точка N(4;-3) пересечениия его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

7. Уравнение одной из сторон квадрата x+3y-1=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-2;-1) – точка пересечения его диагоналей.

8. Точка А(3;-7) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой: 3 . Вычислить площадь квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) ; б) ; в) ; г) ;

б) ; е) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Точка М₁(1,-3) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой у+7=0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет .

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(-2,-4) и от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

 

2. Определители. Базис в пространстве.

Координаты вектора

 

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

 

а) , б) , в) , г) .

 

15. Даны векторы: ₁=(7,4,8); ₂=(1,9,3); ₃=(–4,2,1), =(-13,1,-13) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

 

3. Линейные операции над векторами.

Проекция вектора на ось.