Простейшие задачи аналитической геометрии

НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ;

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.

 

 

1.Доказать,что треугольник с вершинами А₁(3,0), А₂(4,2), А₃(7,-2) прямоугольный.

2.Даны вершины треугольника А(3,2), В(-1,0), С(5,-4). Составить уравнения его медианы и высоты, проведенных из вершины А.

3.Найти координаты точки М₁, симметричной точке М₁(6,-11) относительно прямой, проходящей через точки А(1,-6), В(-3,-4).

4.Даны три вершины параллелограмма А(5,-4), В(7,-2), С(1,4). Определить координаты четвертой вершины D, противоположной В.

5.Отрезок, ограниченный точками А(2,-2), В(5,4) разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6.Даны две вершины А(2,1), В(4,9) треугольника АВС и точка N(3,1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

7.Уравнение одной из сторон квадрата х+3у-9=0. Составить уравнения трех остальныхсторон квадрата, если (0,1) - точка пересечения его диагоналей.

8.Точка А(3,-4) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х-2у+8=0. Вычислить площадь квадрата.

9.Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) .

10 Установить, какая линия определяется уравнением .Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11.Точка М₁(2,3) является концом малой оси элипса, фокусы которого лежат на прямой у+2=0. Составить уравнение этого элипса, зная его эксцентриситет .

12.Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(4,1) и от прямой х+2=0. Определить какая эта линия. Сделать чертеж.

13.Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совподает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

 

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

 

 

14.Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элиментам первой строки;

в) разложением по элиментам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) б) в) г)

 

15. Даны векторы: в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

 

3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ,

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. СКАЛЯРНОЕ,

ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

 

 

16. Найти коородинаты еденичного вектора (орта) ₀, сонаправленного с вектором .

17. Два вектора и приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и ₀ векторов и ;

б) вектора ₀+ ₀;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что =15 .

18. Найти проекцию вектора на направление вектора .

19. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.

20. В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что .

Найти величину угла между векторами и , используя последовательность действий:

а) ввести декартовую прямоугольную систему координат ХОУ с началом в точке О так, чтобы ось Ох была направлена по диагонали (построение четырехугольника нужно ничинать с построения диагонали АС и BD, причем диагональ АС удобнее расположить горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С,D;

в) найти координаты векторов и ;

г) найти по формуле = ;

д) подсчитать искомый угол по формуле .

21. Найти координаты вектора , если и пр =-44, где , , .

22. Дано =2, , ()= , . Найти = .

23. Вычеслить координаты векторного произведения и его длину , если .

24. Даны вершины треугольника А(5,-6,2), В(1,-1,2), С(1,3,-1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вычислить , если =2, =3, ()= 3 .

26. Вектор ортогонален векторам (2,1,3) и и составляет с осью Oу тупой угол. Найти координаты вектора , если и =10.

27. Вычислить смешанное произведение векоров

28. Установить, компланарны ли векторы , , .

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А(3,4,2), В (5,2,-1), С(7,4,8), D(-4,-3,7).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить , если (, = , = 2, =2, а тройка векторов - правая.

 

 

4.аналитическая геометрия в пространстве:

плоскость и прямая в прстранстве;

Поверхности второго порядка

 

 

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2,-1,0), параллельную плоскости: x+2y+2z+1=0.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2,2,-1) и прямую: .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 2x+y+3z-2=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(2,2,-3) перпендикулярно двум плоскостям: 2x-y+5=0 и 3x-2y-z+1=0.

35. Найти расстояние d точки М₀(3,-1,-1) до плоскости x+2y-2y-2z+7=0.

36. На оси Oy найти координаты точек, отстоящих от плоскости 2x-y+2z-1=0 на расстоянии d=3.

37. Даны вершины треугольника А(3,-1,-1), В (1,2,-7), С (3,3,-5). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

38. Составить канонические уравния прямой, проходящей через точку М₀(2,-2,-1), параллельной прямой x=t, y=4t+3, z=2t-1.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости 2x+3y+z-1=0.

40.-Найти проекцию точки Р(1,2,-1) на прямую x=t+2, y=7t-4, t=-3t+5.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2,-4,5) относительно плоскости x+7y-3t-18=0.

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(0,8,-7) относительно прямой .

43.Вычеслить расстояние d точки Р(1,2,-2) от прямой .

44.Составить уравнение прямой l, которая проходит через точку М₀(2,-1,3) перпендикулярно вектору и пересекат прямую l₁:

используя последовательность cmb действий:

а) составить уравнение плоскости П, прроходящей черезточку М₀ с нормальным вектором ;

б) найти координаты точки М₁ пересечение прямой с плоскостью П (см. задачу 39);

в) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(2,4,5), А₂(4,4,3), А₃(3,5,5), А₄(5,3,4). Найти:

1) угол между ребрами А₁,А₂ и А₁А₄;

2) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А_!А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнние плоскости А₁А₂А₃;

5) уравень высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46.Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) z=2-y², z-x=0, z+x=0;

б) z=x²+y², z=2x²+2y², x²+y²=4.

 

5. элЕменты линейной алгебры: метод гаусса,

решения системы линейных уранений;

формулы крамера; матрицы; матричные

уравнения; линейное векторное пространство;

линейная зависимость (независимость) системы

векторов; линейные операторы; собственные