Проекции скорости и ускорения

Для выполнения расчетов скоростей и ускорений необходимо переходить от записи уравнений в векторной форме к записи уравнений в алгебраической форме.

Векторы начальной скорости и ускорения могут иметь различные направления, поэтому переход от векторной записи уравнений к алгебраической может оказаться весьма трудоемким.

Известно, что проекция суммы двух векторов на какую-либо координатную ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

	Поэтому для нахождения проекции вектора скорости на произвольную ось OX нужно найти алгебраическую сумму проекций векторов и на ту же ось. Проекцию вектора на ось считают положительной, если от проекции начала к проекции конца вектора нужно идти по направлению оси, и отрицательной в противоположном случае.

 

График скорости

Из уравнения следует, что графиком зависимости проекции скорости равноускоренного движения от времени является прямая. Если проекция начальной скорости на ось OX равна нулю, то прямая проходит через начало координат.

 

Основные виды движения

1. а_n = 0, a_t = 0 – прямолинейное равномерное движение;

2. а_n = 0, a_t = const – прямолинейное равнопеременное движение;

3. а_n = 0, a_t ¹ 0 – прямолинейное с переменным ускорением;

4. а_n = const, a_t = 0 – равномерное по окружности

5. а_n = const, a_t = const – равнопеременное по окружности

6. а_n ¹ const, a_t ¹ const – криволинейное с переменным ускорением.

Вращательное движение твердого тела.

Вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси – движение, при котором все точки твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Равномерное движение по окружности

Рассмотрим наиболее простой вид вращательного движения, и уделим особое внимание центростремительному ускорению.

При равномерном движении по окружности значение скорости остается постоянным, а направление вектора скорости изменяется в процессе движения.

За интервал времени ∆t тело проходит путь . Этот путь равен длине дуги AB. Векторы скоростей и в точках A и Bнаправлены по касательным к окружности в этих точках, а угол a между векторами и равен углу между радиусами OA и OB. Найдем разность векторов и определим отношение изменения скорости к ∆t:

Из подобия треугольников OAB и BCD следует

Если интервал времени ∆t мал, то мал и угол a. При малых значениях угла a длина хорды AB примерно равна длине дуги AB, т.е. . Т.к. , , то получаем

.

Поскольку , то получаем

Период и частота

Промежуток времени, за который тело совершает полный оборот при движении по окружности, называется периодам обращения (Т). Т.к. длина окружности равна 2pR, период обращения при равномерном движении тела со скоростью v по окружности радиусом R равняется:

Величина, обратная периоду обращения, называется частотой. Частота показывает, сколько оборотов по окружности совершает тело в единицу времени:

(с^-1)

Кинематика вращательного движения

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси OO’ точка M этого тела с радиус-вектором за время Dt пройдет путь равный длине дуги DS, а радиус вектор повернется на угол Dj. Величина называется углом поворота радиус-вектора выбранной точки от некоторого начального положения или модулем углового перемещения.

Для указания направления вращения малым углам поворота приписывают направление: направлен по оси вращения так, чтобы рассматриваемое с его конца вращение происходило против часовой стрелки (правило правого винта). Если тело сделало N поворотов: . Средняя угловая скорость:

(11)

Мгновенная угловая скорость:

(12)

Направление связано с углом поворота правилом правого винта. Размерность – рад/с. Если тело делает n оборотов в сек, то его угловая скорость . Связь линейной и угловой скоростей: ;

или

(13)

в векторной форме:

(14)

 

Угловое ускорение вращающегося тела

Отношение называется средним угловым ускорением.

Угловое ускорение в заданный момент времени: (15) Вектор углового ускорения направлен по оси вращения, причем при ускоренном вращении , при замедленном вращении .