Длительность событий в различных инерциальных системах отсчета.

Пусть в т. A, неподвижной в системе отсчета O’x’y’z’, произошло какое-то событие. Сравним длительность события в системах отсчета Oxyzи O’x’y’z’.В системе O’x’y’z’ т. A покоится, начало и конец события происходят в одной точке пространства и могут быть отмечены по одним и тем же часам:

- длительность события в системе O’x’y’z’.

По отношению к системе Oxyz т. A движется, начало события происходит в т. , а конец в т. , причем:

(68)

где - длительность события в системе Oxyz.

Моменты начала и конца события должны быть отмечены по синхронизированным часам системы Oxyz, находящимся в точках и . Воспользуемся преобразованиями Лоренца:

откуда получим:

(69)

Из (69) следует, что Dt₀<Dt, т.е. длительность события наименьшая в той системе, по отношению к которой т. A покоится. Это значит, что процессы в движущейся системе протекают медленнее, чем в неподвижной, движущиеся часы идут медленнее неподвижных.

 

Релятивистский закон сложения скоростей.

Обозначим:

- скорость некоторой т. A в системе отсчета Oxyz;

- скорость той же точки в системе отсчета O’x’y’z’, движущейся вдоль оси x со скоростью .

Как известно,

; ; (70)

и ; ; (71)

Из преобразований Лоренца найдем:

; ; ; ; (72)

Разделив первые три равенства (72) на четвертое и используем (70) и (71):

	(73)		(74)

Легко видеть, что при и релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический.

 

Интервал.

Всякое событие происходит в пространстве и во времени и характеризуется тремя пространственными координатами x,y,z и одной временной координатой t. Поэтому для изучения динамики различных процессов часто пользуются воображаемым четырехмерным пространством, на осях которого откладывают координаты x,y,z и время t (четырехмерный мир Минковского).

Рассмотрим в четырехмерном пространстве два события: первое имеет координаты x₁, y₁, z₁, t₁, второе – x₂, y₂, z₂, t₂. Величину

(75)

называют интервалом между событиями.

Покажем, что интервал между двумя данными событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Для этого запишем (75) в двух инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью , в следующем виде:

(76)

и

(77)

Из преобразований Лоренца следует, что:

; ; ; ; (78)

Подставим (78) а (77)

т.к. ; , рассмотрим разность :

умножим на с²:

откуда следует, что

или (79)

Понятие интервала устанавливает связь между пространственными и временными координатами событий. Как следует из (79), величина интервала не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Этот вывод вытекает из условия, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах. Поэтому (79) представляет собой математическое выражение постулата о постоянстве скорости света.

Собственное время.

Время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем объекта. Собственное время принято обозначать через . Получим выражение для собственного времени :

(80)

Покажем, что собственное время инвариантно относительно преобразований Лоренца, т.е. одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Свяжем с инерциальной системой отсчета часы. Т.к. часы покоятся в этой системе, то:

; ; ,

и интервал между событиями в этой системе равен:

а собственное время:

(81)

Ранее было показано, что и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, поэтому также является инвариантом.

Элементы релятивистской динамики.

Релятивистский импульс

Ранее была установлена инвариантность законов Ньютона, следовательно, и вытекающего из них закона сохранения импульса относительно преобразований Галилея. Однако инвариантность этих законов по отношению к преобразованиям Лоренца не соблюдается.

В СТО найдено новое выражение для импульса частицы, такое что 1) закон сохранения импульса остается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца как при больших, так и при малых скоростях и 2) при остается справедливым ньютоновское определение импульса.

Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью относительно неподвижной инерциальной системы отсчета; - вектор перемещения частицы за время . Умножим на постоянную величину , где - собственное время частицы, - некоторая постоянная:

(82)

Допустим, что , так что можно пренебречь, и возьмем в качестве массу частицы, как она определяется в классической механике. При этих условиях перейдет в . В классической механике этот вектор, как известно, называют импульсом частицы. Поэтому в релятивистской механике естественно импульс определить выражением:

(83)

Величина

(84)

называется массой движущегося тела или релятивистской массой. Из (84) следует, что при ; называется массой покоя. Она не зависит от скорости тела и является инвариантной величиной.