Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения.

Рассмотрим систему материальных точек и обозначим:

- результирующая всех внешних сил, действующих на систему;

- результирующая всех внутренних консервативных сил;

- результирующая всех внутренних неконсервативных сил, действующих на материальные точки.

Тогда результирующая всех сил:

(34)

Умножим (1) скалярно на малое перемещение :

(35)

Выясним физический смысл:

- работа результирующей силы, которая, как было установлено ранее, равна приращению кинетической энергии системы:

- работа внешних сил;

- работа консервативных сил, равная убыли потенциальной энергии системы:

- работа неконсервативных сил.

Перепишем (35) в виде:

или (36)

Принимая во внимание, что , где - полная энергия системы, получим:

Если система замкнута, то на нее внешние силы не действуют и , тогда:

Если в системе не действуют неконсервативные силы, например силы трения, то и

, т.е. (37)

(37) – математическая формулировка закона сохранения механической энергии:

- полная энергия замкнутой механической системы не меняется с течением времени.

Однако в реальных системах механическая энергия, отдельно взятая, не сохраняется. В любой реальной системе при движении тел возникают силы трения, которые являются неконсервативными силами. В этом случае и полная механическая энергия такой системы убывает. Но при этом механическая энергия переходит в различные виды немеханической энергии, например, в энергию теплового движения, т.е. во внутреннюю энергию среды, в которой происходит движение.

Поэтому рассмотренный нами закон сохранения и превращения механической энергии является частным случаем всеобщего физического закона сохранения и превращения энергии.

 

Абсолютно упругий и абсолютно неупругий центральные удары.

Абсолютно упругий центральный удар

подчиняется закону сохранения импульса и закону сохранения механической энергии:

ЗСИ:

ЗСЭ:

Абсолютно неупругий центральный удар

наличие общей скорости после соударения

ЗСИ:

ЗСЭ:

где - выделившееся после соударения тепло;

- кинетическая энергия тел до соударения;

- кинетическая энергия тел после соударения.

 

Твердое тело в механике.

Уравнение вращательного движения твердого тела относительно точки.

Будем рассматривать твердое тело, как систему n точек в системе координат xyz. Обозначим: , - масса и скорость i-той точки; - ее радиус-вектор; - внутренняя сила, действующая на i-тую точку со стороны k-той;

- равнодействующая всех внешних сил, действующих на i -тую точку.

Запишем для i-той материальной точки II закон Ньютона:

(38)

Умножим слева обе части (38) векторно на :

(39)

Видно, что

(40)

В самом деле:

причем:

Перепишем уравнение (39) с учетом (40):

(41)

Векторное произведение радиус-вектора точки на ее импульс называется моментом импульса точки относительно т. О:

(42)

Направление находится по правилу векторного произведения. Для случая на рисунке перпендикулярен плоскости, в которой лежат и , и направлен вверх. Модуль момента импульса равен:

, (43)

Векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор этой силы называется моментом силы относительно т. О.

(11) Направление покажем на рисунке. Модуль момента силы равен: (44) где ,

Перпендикуляр , опущенный из т.О на направление вектора силы, называется плечом этой силы.

С учетом (41) и (43) перепишем (40) в виде:

(45)

Записывая аналогичные уравнения для всех n точек твердого тела и суммируя их почленно, получим:

(46)

Векторная сумма называется моментом импульса тела относительно т. О.

Векторная сумма моментов внешних сил, приложенных ко всем точкам системы, называется результирующим или главным моментом внешних сил относительно т. О:

Наконец, векторная сумма моментов всех внутренних сил относительно т. О равна нулю: , т.к. момент каждой пары внутренних сил и равен нулю. Тогда уравнение (40) примет вид:

(47)

Это уравнение называется уравнением вращательного движения твердого тела относительно неподвижной точки.