Закон сохранения импульса. Соударение двух тел

Основной закон динамики поступательного движения для замкнутой системы тел: , следовательно: .

Таким образом, импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Этот закон справедлив не только в классической механике, но и в квантовой механи­ке для замкнутых систем микрочастиц. Закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы.

Закон справедлив и для незамкнутых систем, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю. Из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным. В неинерциальных системах отсчета закон сохранения импульса несправедлив.

При соударении двух тел существуют 2 предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия полностью или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоро­стями, модуль и направления которых определяются двумя условиями: сохранением полной механической энергии и сохранением полного импульса системы тел.

При абсолютно упругом центральном ударе (удар происходит по прямой, соединяющей центры масс шаров) возможны два случая:

1. Шары двигаются навстречу друг другу.
2. Один шар догоняет другой (рисунок 22).

 

 

Положим, что система замкнутая и вращение шаров отсутствует. Пусть массы шаров m₁ и m₂, скорости их до удара и , а после удара и соответственно. Скорости шаров после удара определяются при решении системы уравнений, составленной согласно закону сохранения механической энергии и закону сохранения импульса:

 

- закон сохранения энергии.

- закон сохранения импульса.

Если m₁= m₂, то .

Для численных расчетов нужно спроектировать векторы скоростей на ось, вдоль которой движутся шары, т.е. учесть направление скоростей соответствующими знаками.

Из полученных формул можно определить скорость шара после удара о движущуюся или неподвижную стенку:

.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформа­ции при таком ударе не возникает. Кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внут­реннюю энергию. После удара столкнувшиеся тела либо двигаются с одинаковой скоростью, либо покоятся (рисунок 23).

		До удара

 

.

При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса системы. Закон сохранения механической энергии не выполняется.

Рассмотрим абсолютно неупругий удар 2-х материальных точек, образующих замкнутую систему. Пусть массы материальных точек m₁ и m₂, а скорости до удара - и , а после удара - . Суммар­ный импульс системы после удара должен быть таким же, как и до удара

Скорость системы тел после удара .

В численных расчетах используются проекции векторов скоростей на направление оси, вдоль которой двигаются тела.

Контрольные вопросы:

1. Изложите закон сохранения импульса.

2. Расскажите об абсолютно упругом ударе.

3. Какие законы сохранения действуют при абсолютно упругом ударе?

4. Как определить скорости двух тел после абсолютно упругого удара?

5. Что такое абсолютно неупругий удар? Какой закон сохранения действует при абсолютно неупругом ударе?

6. Как вычислить скорость тел после абсолютно неупругого удара?

Выберите правильные ответы на поставленные вопросы:

1. При абсолютно упругом ударе двух шаров с начальными импульсами и и кинетическими энергиями Е1 и Е2 соответственно, суммарный импульс Р шаров и кинетическая энергия Е сразу после соударения… ○ 1. …Р = р1+р2, E > E1+E2. ○ 2. …Р = р1+р2, E < E1+E2. ○ 3. …Р ≠ р1+р2, E = E1+E2. ○ 4. …Р = р1+р2, E = E1+E2. ○ 5. …Р ≠ р1+р2, E < E1+E2.	4. Три массивных диска вращаются соосно, как показано на рисунке. Как изменится момент импульса системы после сцепления колес? Трением в оси пренебречь. ○ 1. Увеличится в девять раз. ○ 2. Увеличится в три раза. ○ 3. Не изменится. ○ 4. Уменьшится в три раза. ○ 5. Уменьшится в девять раз.
2. Человек стоит в центре массивного диска, свободно вращающегося вокруг вертикальной оси. Как изменится угловая скорость вращения диска если он разведет руки с гантелями в стороны? ○ 1. Увеличится, так как будет произведена полезная работа. ○ 2. Не изменится согласно закону сохранения импульса. ○ 3. Уменьшится согласно закону сохранения момента импульса. ○ 4. Увеличится, так как возрастет кинетическая энергия. ○ 5. Не изменится согласно закону сохранения энергии.	5. Два шара одинаковой массы m со скоростями и сталкиваются абсолютно неупруго и приобретают скорости и . Какое из утверждений справедливо? ○ 1. V1=V2=V, причем . ○ 2. V1=V2=V, причем . ○ 3. V1≠V2, причем ○ 4. V1≠V2, причем ○ 5. V1=V2=V, причем .
3. Чему равен импульс и энергия после встречного абсолютно неупругого удара двух тел? ○ 1. E=E1+E2 ○ 2. E<E1+E2 ○ 3. E>E1+E2 ○ 4. E≠E1+E2 ○ 5. E≠E1+E2	6. Одинаковые моменты внешних сил действуют на два шара, которые вращаются на неподвижных осях. Момент инерции первого шара больше, чем второго. Угловое ускорение первого шара… ○ 1. …больше, чем у второго. ○ 2. …меньше, чем у второго. ○ 3. …такое же, как у второго. ○ 4. …может быть больше или меньше, чем у второго в зависимости от соотношения масс шаров. ○ 5. …может быть больше или меньше, чем у второго в зависимости от соотношения радиусов шаров.

Закон всемирного тяготения

Изучением движения планет люди занимались, начиная с глубокой древности. Астроном Иоганн Кеплер обработал результаты многочисленных наблюдений и изложил законы движения планет:

1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площа­ди.
3. Для планет солнечной системы - постоянная величина, где R - радиус орбиты планеты (половина большой оси эллипса);
   Т - период обращения планеты вокруг Солнца.

Впоследствии Ньютон на основании законов Кеплера и основных законов динамики от­крыл закон всемирного тяготения: Все тела (материальные точки) независимо от их свойств, притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропор­циональной квадрату расстояния между ними F = G , где:

G - гравитационная постоянная. G = 6,672 • 10^-11

Сила тяжести

Согласно второму закону Ньютона любое тело вблизи поверхности Земли начинает дви­гаться с ускорением свободного падения под действием силы тяжести .

Для тел, находящихся на поверхности Земли: , где М - масса Земли, m - масса тела, R₃ - радиус Земли. Отсюда:

Если тело массой m находится на высоте h над поверхностью Земли, то . Таким образом, сила тяжести уменьшается с удалением от Земли.

 

Работа в поле тяготения

Если тело массой перемещать с расстояния от Земли до расстояния (рисунок 24), то работа по его перемещению:

Эта работа не зависит от траектории, а определяется лишь начальным и конечным положением тела. Следо­вательно, силы тяготения - консервативные, а поле тяготения – потенциальное.

 

Работа, совершаемая консервативными силами:

 

При R₂®¥ ®0.

Потенциальная энергия двух тел, находящихся на расстоянии .

Если тело массой m находится на высоте h над поверхностью Земли, то его потенциальная энергия , где

R₃- радиус Земли R₃ = 6,4-10⁶м, М - масса Земли. М = 6 × 10²⁴ кг.

 

Невесомость

Вес тела – это сила, действующая на опору или на подвес. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости. Если к телу приложена не только сила тяготения , но и другая сила , создающая уско­рение тела , то дополнительная сила должна удовлетворять условию: .

Тогда вес тела = .

Если тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, то и .

Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории, то и - тело будет невесомым.

Космические скорости

Первая космическая скорость - это минимальная скорость тела, при которой оно становит­ся спутником Земли и начинает двигаться вокруг Земли по круговой орбите радиусом . Тогда сила тяготения Земли создает нормальное ускорение, равное . По второму закону Ньютона ; и .

Поэтому

Вторая космическая скорость - скорость, при которой тело преодолевает притяжение Земли и превращается в спутник Солнца. Для этого необходимо, чтобы кинетическая энергия тела была равна работе, совершаемой против сил тяготения.

Третья космическая скорость - позволяет телу покинуть Солнечную систему, преодолев притяжение Солнца. = 16,7 при условии запуска тела в направлении орбитального движения Земли. При запуске тела в противоположном направлении =73 .