Потенциальная энергия - это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Часто взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (поля гравитации, поля упругих сил и т.д.). Эти поля характеризуются тем, что работа по перемещению тела из одного положения в другое не зависит от траектории перемещения, а зависит только от начального и конечного положений тела. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие на тело - консервативными.

Работа консервативных сил по замкнутой траектории равна 0.

Если работа, совершаемая силой, зависит от формы траектории тела, то такая сила называется диссипативной (например, сила трения). Работа, совершаемая против диссипативных сил, превращает механическую энергию в тепловую.

Работа консервативной си­лы равна убыли потенциальной энергии Е_п.

А₁₂ = Е_п1 – Е_п2 - работа по перемещению материальной точки из точки 1 в точку 2.

Потенциальная энергия тела у поверхности Земли: Е_П = mgh + const

Потенциальная энергия в поле тяготения: , где m и M – массы тел; r – расстояние между центрами тел; G - гравитационная постоянная. G=6,67 × 10^-11 н × м² × кг ^-2,

Потенциальная энергия деформированной пружины: , где k - жесткость пружины [ k ] = н/м, х – деформация пружины.

Как следует из приведенных формул, потенциальная энергия Е_п оказывается определенной с точностью до некоторой неиз­вестной постоянной (const). При вычислениях это обстоятельство не имеет большого значения, т.к. во все физические формулы входит либо разность значений Е_п, либо производная от функции Е_п по координатам.

Значения постоянных зависит от выбора нулевого уровня потенциальной энергии. Обычно значения постоянных принимаются равными 0. Это означает, что для силы тяжести Е_п=0 при h=0, для поля тяготения Е_ПТ =0 при г = ¥, а Е_Пу =0 при х=0, т.е. когда пружина не растянута.

Полная механическая энергия системы - это энергия механического движения и взаи­модействия тел , т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Контрольные вопросы:

1. Что такое потенциальная энергия и потенциальные поля?

2. Что такое консервативные и диссипативные силы?

3. Приведите формулу потенциальной энергии сил тяжести у поверхности Земли.

4. Приведите формулу потенциальной энергии в поле тяготения.

5. Приведите формулу потенциальной энергии деформированной пружины.

6. Чему равна полная механическая энергия системы?

 

Выберите правильные ответы на поставленные вопросы

1. Механическая работа силы при перемещении равна… ○ 1. …нулю. ○ 2. … . ○ 3. … . ○ 4. … . ○ 5. …| || |.	5. Потенциальная энергия пружины с коэффициентом жесткости k=1000Н/м, сжатой или растянутой на 1мм, равна… ○ 1. …0,5 миллиджоуля и при сжатии и при растяжении. ○ 2. …5 микроджоулей и при сжатии и при растяжении. ○ 3. …(+0,5) миллиджоуля при сжатии и (-0,5) миллиджоуля при растяжении. ○ 4. …(+5) микроджоулей при сжатии и (-5) микроджоулей при растяжении. ○ 5. …нулю.
2. Элементарная механическая работа силы при элементарном перемещении d равна… ○ 1. …FdSsinα. ○ 2. …FdScosα. ○ 3. …FdS. ○ 4. …FdS/sinα. ○ 5. …FdS/cosα.	6. Тело массой m движется со скоростью υ. После упругого взаимодействия со стенкой оно стало двигаться в противоположном направлении с такой же по модулю скоростью. Какую работу совершила сила упругости, действовавшая но тело со стороны стенки? ○ 1. 0 (ноль) ○ 2. ○ 3. ○ 4. ○ 5.
3. Тело двигалось под действием силы тяготения против силы трения. Сила тяготения совершила работу, равную по абсолютной величине 15Дж, а сила трения работу, равную по абсолютной величине 12Дж. Изменение канетической энергии тела равно… ○ 1. …15Дж. ○ 2. …12Дж. ○ 3. …27Дж. ○ 4. …3Дж ○ 5. …13,5Дж.	7. При отсутствии трения выберите правильный ответ. ○ 1. V2<V1 t1<t2 ○ 2. V2=V1 t1<t2 ○ 3. V2>V1 t1=t2 ○ 4. V2=V1 t1=t2
4. Пусть М – масса Земли, G – гравитационная постоянная, R0 – радиус Земли. Потенциальная энергия W материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от центра Земли, причем r>>R0, равна (при условии, что при r→∞W→0)… o 1…mg(r-R0), g=9,8м/с^2. o 2…-GMm/r^2. o 3…-GMm/r. o 4…+GMm/r^2. o 5…+GMm/r.	8. Тело находится в состоянии покоя. На него начинает действовать сила F, перемещая это тело на расстояние S с постоянной скоростью V. Чему равна мощность N этой силы? ○ 1. ○ 2. ○ 3. ○ 4. необходимо знать другие параметры

 

Динамика вращения АТТ

При изучении вращения АТТ часто пользуются понятием момента инерции. Момент инерции тела – мера инерции твердых тел при вращательном движении. Термин момент всегда связан с вращением, при этом обязательно нужно указывать относительно чего вращается тело.

Момент инерции материальной точки массой относительно оси вращения: , где - кратчайшее расстояние от МТ до оси.

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс "n" материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу .

Моменты инерции относительно оси вращения наиболее часто встречающихся тел сведены в таблицу.

Таблица моментов инерции некоторых тел относительно оси вращения

Тело	Положение оси враще­ния	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	ось симметрии
сплошной цилиндр или диск радиусом R	ось симметрии
прямой тонкий стержень длиной	ось перпендикулярна стержню и проходит че­рез его середину
прямой тонкий стержень длиной	ось перпендикулярна стержню и проходит че­рез его конец
шар радиусом R	ось проходит через центр шара

Если известен момент инерции тела массой относительно оси, проходящей через его центр масс , то момент инерции этого тела относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

, где - расстояние между осями.

Моментом силы относительно неподвижной точки О (Рисунок 18)называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы на вектор силы. . Вектор является псевдовектором.

Модуль момента силы относительно точки О: , где - плечо - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой O.

Моментом силы относительно неподвижной оси z (Рисунок 19) называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы , определенного относительно произвольной точки О данной оси z. Значение не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Момент силы относительно оси z равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение - основной закон динамики вращательного движения.

При одновременном действии на тело нескольких моментов сил основной закон динамики вращательного движения примет вид:

.

Моментом импульса тела относительно неподвижной точки О (Рисунок 20)называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением .

O

Модуль момента импульса относительно точки О: , где - плечо.

О

Моментом импульса относительно оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса , определенного относительно произвольной точки О данной оси.

Момент импульса АТТ относительно оси z:

 

 

Основной закон динамики вращательного движения АТТ:

Кинетическая энергия вращения тела находится как сумма кинетических энергий его элементарных объемов:

. Поскольку угловая скорость всех элементарных объемов одна и та же , то: Е_вр= . Таким образом:

Работа, совершаемая при вращении АТТ, идет на увеличение его кинетической энергии:

В случае плоского движения АТТ его кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергия вращательного движения , где u_с - скорость центра масс,

I_c - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

Центром масс системы называется точка С, положение которой задает радиус-вектор .

, где m – масса системы , m_i – масса i-той частицы, - радиус - вектор i-той частицы.

Декартовы координаты центра масс:

;

В заключении сопоставим в виде таблицы основные величины и уравнения поступательного и вращательного движения тела. В приведенной таблице прослеживается аналогия конфигурации формул для расчета физических величин поступательного и вращательного движений.

Контрольные вопросы:

1. Что такое момент инерции тела?

2. Изложите теорему Штейнера.

3. Расскажите, что Вы знаете о моменте силы?

4. Что Вы знаете о моменте импульса АТТ?

5. Изложите закон динамики вращательного движения АТТ.

6. Как вычислить кинетическую энергию вращения АТТ?

7. Как вычислить кинетическую энергию плоского движения АТТ?

 

Выберите правильные ответы на поставленные вопросы

 

1. Моментом импульса материальной точки, имеющей радиус-вектор и импульс , называется вектор… ○ 1. … . ○ 2. … . ○ 3. …| | . ○ 4. … | |. ○ 5. … /| |.	5. К двум противоположным точкам диска, который может вращаться вокруг оси симметрии, приложена пара сил F и (-F). Тело… ○ 1. …вращается с линейно меняющейся угловой скоростью, причем результирующий момент пары сил равен удвоенному моменту одной силы F. ○ 2. …ускоренно вращается, причем результирующий момент пары сил равен моменту одной силы F. ○ 3. …не вращается, так как силы направлены в противоположные стороны. ○ 4. …вращается или покоится, результирующий момент пары сил равен нулю. ○ 5. …равномерно вращается.
2. Момент инерции материальной точки массой m, вращающейся по окружности радиуса R, равен… ○ 1. …mR. ○ 2. …m^2R. ○ 3. …mR^2. ○ 4. …m^2R^2. ○ 5. …m/R^2.	6. Вектор ε углового ускорения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, связан с моментом внешних сил М формулой (R – размер тела, I – момент инерции тела, m – масса тела)… ○ 1. …ε = M/R. ○ 2. …ε = M/I. ○ 3. …ε = MR. ○ 4. …ε = MI.
3. Момент инерции однородного диска или цилиндра радиусом R и массой m относительно оси симметрии, равен… ○ 1. …mR^2. ○ 2. …mR^2/3. ○ 3. …mR^2/2. ○ 4. …m^2R^2/2. ○ 5. …m^2R/2.	7. Тело вращается под действием момента сил М, изменяющегося со временем как показано на рисунке. При t = 0 угловая скорость равна 0. Указать точку или точки, в которых величина угловой скорость максимальна. ○ 1. Точка 2. ○ 2. Точки 2, 4. ○ 3. Точка 3. ○ 4. Точки 3, 5. ○ 5. Точка 4.
4. Сила F, которую можно разложить на составляющие F1и F2 приложена к телу в точке А (см. рисунок). Момент силы F относительно оси 00 равен по абсолютной величине… ○ 1. …F^h. ○ 2. …FιιR. ○ 3. …Fιιh. ○ 4. …F^R. ○ 5. …Fh.	8. Сплошной диск 1 и тонкое кольцо 2 одинаковых масс и радиусов исходно неподвижны. Их начинают синхронно (с одинаковыми угловыми ускорениями) раскручивать вокруг осей симметрии моментами сил M1 и M2 соответственно. Чему равно отношение величин этих моментов M1/M2? Запишите значение

Статика

Статикой называется раздел механики, в котором изучаются условия равновесия АТТ. Состоянием равновесия называется такое состояние тела, когда оно покоится, движется прямолинейно и равномерно или равномерно вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела. Знание условий равновесия АТТ важно для расчетов машин и механизмов, транс­портных средств и различных сооружений.

Первое условие равновесия является следствием 2-го закона Ньютона - векторная (геометрическая) сумма всех сил равна 0. При решении задачэто условие обычно записывается в виде проекций на координатные оси х и у: .

Первое условие равновесия АТТ необходимое, но недостаточное, т.к. АТТ может не только двигаться поступательно, но и вращаться.

Второе условие равновесия АТТ получается из основного уравнения динамики вращательного движения АТТ: где - векторная сумма моментов сил, действующих на АТТ. Из этого уравнения следует второе условие равновесия АТТ: - векторная сумма моментов сил отно­сительно любой оси должна быть равна 0. Для плоской системы сил . Моменту сил, стремящихся повернуть тело относительно оси z по часовой стрелке при­сваивается знак "+", против - знак "–".