Способы работы с векторными величинами

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

а) Правило параллелограмма: вектора и откладываются от одной точки, результирующий вектор совпадает с диагональю параллелограмма и начинается в той же точке, от которой откладывались вектора и .

б) Правило треугольника: от конца вектора откладывается вектор начало результирующего вектора совпадает с началом вектора , а конец совпадает с концом вектора .

 

Для вычисления модуля результирующего вектора необходимо использовать соотношения в треугольниках.

2. НАХОЖДЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ВЕКТОРОВ НА ОСИ КООРДИНАТ.

Чтобы найти проекцию вектора на ось , необходимо на эту ось опустить перпендикуляры из начала и конца вектора. Отрезок на оси между этими перпендикулярами и будет проекцией вектора на ось .

Аналогично находятся проекции на другие оси.

Проекция вектора на ось - скалярная величина, поэтому математические действия с проекциями производятся алгебраически.

Если при перемещении от начала проекции к ее концу движутся по направлению оси, то проекция вектора на эту ось положительна, в противном случае отрицательна.

Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю.

Если вектор параллелен оси, то модуль проекции равен длине вектора.

Если вектор составляет некоторый угол с осью , то его проекция , .

Из рисунка видно, что (по теореме Пифагора).

СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ И ПРОИЗВОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКАХ

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

СИНУСОМ острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin =

КОСИНУСОМ острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos =

ТАНГЕНСОМ острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg =

КОТАНГЕНСОМ острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

ctg =

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА с²= ²+ ² Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

 

ТЕОРЕМА СИНУСОВ:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

 

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА

 

	0^о	30^о( рад)	45^о( рад)	60^о( рад)	90^о( рад)
sin		0,5	=0,71	=0,87
cos		=0,87	=0,71	0,5

НЕКОТОРЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

1. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

, где . Графиком является прямая, проходящая через точку с координатой .

2. ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - частный вид линейной функции. При

График-прямая, проходящая через начало координат.

Прямо пропорциональная зависимость величин.

Две величины и являются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в некоторое количество раз, другая увеличивается (уменьшается) в такое же количество раз.

3. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ , где Графиком является гипербола.

Обратно пропорциональная зависимость величин.

Две величины и являются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в некоторое количество раз, другая уменьшается (увеличивается) в такое же количество раз. .

4. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

, где Графиком является парабола.

 

ПЛОЩАДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

ТРЕУГОЛЬНИК S= (половина произведения основания на высоту).

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК S= (половина произведения катетов).

ТРАПЕЦИЯ S= (произведение полусуммы ее оснований на высоту).

КРУГ S=

ПОВЕРХНОСТЬ ШАРА S=

БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЛИНДРА S=

 

ОБЪЕМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

 

ШАР V= ЦИЛИНДР V=

 

CВОЙСТВА СТЕПЕНИ

 

 

ЗАПИСЬ ЧИСЛА В СТАНДАРТНОМ ВИДЕ

 

При вычислениях часто получаются числа, которые либо много больше, либо много меньше единицы. Такие числа записывают в стандартном виде: в виде произведения некоторого числа на число десять в соответствующей степени

Например: 0,000 025=2,5∙10^-5

33 000 000=3,3∙10⁷

 

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

УРАВНЕНИЕ ВИДА:

Поделим на множитель при , т.е. на : =

УРАВНЕНИЕ ВИДА:

Воспользуемся свойством пропорции:

Поделим на множитель при , т.е. на :

 

УРАВНЕНИЕ ВИДА:

Представим в виде пропорции:

Воспользуемся свойством пропорции:

Поделим на множитель при , т.е. на :

 

ПРОИЗВОДНАЯ

 

Если физическая величина А изменяется с течением времени, то скорость изменения этой величины за промежуток времени t определяется отношением .

Если необходимо определить мгновенную скорость изменения величины, то ищут производную (t) (определяют отношение , при стремящимся к нулю).

Например: Скорость движения - скорость изменения координаты. = . Мгновенная скорость = (t) или

Ускорение - скорость изменения скорости. .

ЭДС индукции - скорость изменения магнитного потока. =

Мгновенное значение ЭДС индукции = (t)

Сила тока I=

ИНТЕГРАЛ

Операция нахождения производной называется дифференцированием. Обратная дифференцированию задача – интегрирование. Поэтому

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что это есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции. Определенный интеграл равен численному значению площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции .

Пусть задана функция на отрезке , тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции вычисляется по формуле

Содержание

 

ПРИСТАВКИ И ИХ МНОЖИТЕЛИ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ